Obie części rachunku różniczkowego i całkowego opierają się na granicach .
Limit to najlepsze przewidywanie punktu. Daje nam oszacowanie, gdy nie możemy bezpośrednio obliczyć wyniku. Limit to wartość, do której funkcja „zbliża się”, gdy dane wejściowe „zbliżają się” do pewnej wartości.
Rozumiemy tę koncepcję na przykładzie.
Niech f(x) = 4x − 3. Oblicz wartości f(x), gdy x zbliża się do 3. Przyjrzyj się wykresowi funkcji f(x) = 4x − 3. Zbadaj punkty, w których x jest bliższe 3.
Rozważmy tutaj dwa scenariusze
(i) x zbliża się do 3 od lewej i
(ii) x zbliża się do 3 z prawej strony.
| X | k(x) | X | k(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9,8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2,91 | 8,64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2,999 | 8,996 | 3.01 | 9.04 |
Czy widzisz ostatni rząd? W obu przypadkach, gdy x zbliża się do 3, f(x) zbliża się do 9. Dlatego możemy powiedzieć:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Weźmy inny przykład, znajdź granicę funkcji f(x) gdy x zbliża się do 2, gdzie \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , tj. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Jeśli wstawimy wartość x jako 2, otrzymamy: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{nieokreślony}\)
Oznacza to, że nie możemy uzyskać wartości granicznej, podstawiając wartość x w wyrażeniu. Obliczmy wartość f(x), gdy x zbliża się do 2.
| X | k(x) | X | k(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4,5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1,5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Gdy x zbliża się do 2, wartość \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) zbliża się do 4. Zatem
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Ciągłość można zdefiniować koncepcyjnie na kilka różnych sposobów. Funkcja jest ciągła, jeśli jej wykres można prześledzić piórem bez odrywania pióra od strony. Funkcja jest ciągła, jeśli jej wykres jest nieprzerwaną krzywą bez dziur, przerw i przerw. Poniższe wykresy przedstawiają funkcje ciągłe.
Jako bardziej formalną definicję ciągłości możemy powiedzieć, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x = a, jeśli spełnione są następujące warunki:
(i) f(a) jest zdefiniowane (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) istnieje (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Sprawdź funkcje przedstawione na poniższych wykresach. Obie funkcje nie spełniają trzech warunków ciągłości:
Spójrz na pierwszy wykres, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) w punkcie a jest prawdziwe, jeśli x zbliża się do wartości „a” z prawej strony. Ale jeśli x zbliża się do wartości „a” od lewej strony, f(x) nie zbliża się do f(a), a zatem jest funkcją nieciągłą.
