Ambas as partes do cálculo, cálculo diferencial e integral, são baseadas em limites .
Limite é a melhor previsão de um ponto. Isso nos dá uma estimativa quando não podemos calcular o resultado diretamente. Limite é o valor que a função 'se aproxima' conforme a entrada 'se aproxima' de algum valor.
Vamos entender esse conceito usando um exemplo.
Seja f(x) = 4x − 3. Calcule os valores de f(x) à medida que x assume um valor mais próximo de 3. Observe o gráfico da função f(x) = 4x − 3. Examine os pontos onde x está mais próximo de 3.
Considere dois cenários aqui
(i) x se aproximando de 3 pela esquerda e
(ii) x se aproximando de 3 pela direita.
| x | f(x) | x | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2,5 | 7 | 3.2 | 9,8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9h48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2,91 | 8,64 | 3.09 | 9h36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Você vê a última linha? Em ambos os casos, quando x tende a 3, f(x) tende a 9. Portanto, podemos dizer:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Vamos dar outro exemplo, encontrar o limite para a função f(x) quando x se aproxima de 2, onde \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , ou seja \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Se colocarmos o valor de x como 2, obtemos: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{indefinido}\)
Isto implica que não podemos obter o valor do limite substituindo o valor de x na expressão. Vamos calcular o valor de f(x) quando x se aproxima de 2.
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1 | 3 | 2,5 | 4,5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1,5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1,8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1,9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
À medida que x se aproxima de 2, o valor de \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) se aproxima de 4. Portanto,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
A continuidade pode ser definida conceitualmente de algumas maneiras diferentes. Uma função é contínua se seu gráfico puder ser traçado com uma caneta sem tirar a caneta da página. Uma função é contínua se seu gráfico for uma curva contínua, sem buracos, lacunas ou quebras. Os gráficos abaixo representam funções contínuas.
Como definição mais formal de continuidade, podemos dizer que uma função f(x) é contínua em um ponto x = a se as seguintes condições forem atendidas:
(i) f(a) está definido (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) existe (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(uma)
Verifique as funções plotadas nos gráficos abaixo. Ambas as funções não satisfazem as três condições de continuidade:
Observe o primeiro gráfico, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) no ponto a é verdadeiro se x se aproxima do valor 'a' pelo lado direito. Mas se x se aproxima do valor 'a' pelo lado esquerdo, f(x) não está se aproximando de f(a), portanto é uma função descontínua.
