Обе части исчисления, дифференциальное и интегральное исчисление, основаны на пределах .
Лимит – лучший прогноз точки. Это дает нам оценку, когда мы не можем вычислить результат напрямую. Предел — это значение, к которому «приближается» функция, когда входные данные «приближаются» к некоторому значению.
Давайте разберем эту концепцию на примере.
Пусть f(x) = 4x - 3. Вычислите значения f(x), когда x принимает значение ближе к 3. Посмотрите на график функции f(x) = 4x - 3. Исследуйте точки, где x ближе к 3.
Рассмотрим здесь два сценария
(i) x приближается к 3 слева и
(ii) x приближается к 3 справа.
| Икс | е(х) | Икс | е(х) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5,8 | 3,5 | 11 | |
| 2,5 | 7 | 3.2 | 9,8 | |
| 2,8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2,9 | 8,6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2,91 | 8,64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8,8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2,999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Вы видите последний ряд? В обоих случаях, когда x приближается к 3, f(x) приближается к 9. Следовательно, мы можем сказать:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Давайте возьмем другой пример: найдем предел функции f(x) при приближении x к 2, где \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , т.е. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Если мы поместим значение x как 2, мы получим: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{неопределенный}\)
Это означает, что мы не можем получить значение предела, подставив значение x в выражение. Давайте вычислим значение f(x), когда x приближается к 2.
| Икс | е(х) | Икс | е(х) |
| 1 | 3 | 2,5 | 4,5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1,5 | 3,5 | 2.1 | 4.1 |
| 1,8 | 3,8 | 2.05 | 4.05 |
| 1,9 | 3,9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Когда x приближается к 2, значение \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) приближается к 4. Следовательно,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Непрерывность можно определить концептуально несколькими разными способами. Функция называется непрерывной, если ее график можно провести пером, не отрывая пера от страницы. Функция непрерывна, если ее график представляет собой непрерывную кривую без дыр, пропусков и разрывов. Графики ниже представляют собой непрерывные функции.
В качестве более формального определения непрерывности мы можем сказать, что функция f(x) непрерывна в точке x = a, если выполняются следующие условия:
(i) f(a) определена (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) существует (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(а)
Проверьте функции, представленные на графиках ниже. Обе функции не удовлетворяют трем условиям непрерывности:
Посмотрите на первый график: \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) в точке a верно, если x приближается к значению 'a' с правой стороны. Но если x приближается к значению «a» с левой стороны, f(x) не приближается к f(a), следовательно, это разрывная функция.
