Të dy pjesët e llogaritjes, llogaritja diferenciale dhe ajo integrale bazohen në Limitet .
Limiti është parashikimi më i mirë i një pike. Na jep një vlerësim kur nuk mund të llogarisim rezultatin drejtpërdrejt. Limiti është vlera që funksioni 'afrohet' ndërsa hyrja 'i afrohet' disa vlerës.
Le ta kuptojmë këtë koncept duke përdorur një shembull.
Le të jetë f(x) = 4x − 3. Llogaritni vlerat e f(x) pasi x merr vlerën më afër 3. Shikoni grafikun për funksionin f(x) = 4x − 3. Shqyrtoni pikat ku x është më afër 3.
Merrni parasysh dy skenarë këtu
(i) x i afrohet 3 nga e majta dhe
(ii) x i afrohet 3 nga e djathta.
| x | f(x) | x | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
E shihni rreshtin e fundit? Në të dyja rastet kur x i afrohet 3, f(x) i afrohet 9. Prandaj, mund të themi:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Le të marrim një shembull tjetër, të gjejmë kufirin për funksionin f(x) ndërsa x i afrohet 2, ku \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , dmth \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Nëse e vendosim vlerën e x si 2, marrim: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{të papërcaktuara}\)
Kjo nënkupton që ne nuk mund të marrim vlerën e limitit duke zëvendësuar vlerën e x në shprehje. Le të llogarisim vlerën e f(x) ndërsa x i afrohet 2.
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
Ndërsa x i afrohet 2, vlera e \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) i afrohet 4. Prandaj,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Vazhdimësia mund të përkufizohet konceptualisht në disa mënyra të ndryshme. Një funksion është i vazhdueshëm, nëse grafiku i tij mund të gjurmohet me një stilolaps pa e hequr stilolapsin nga faqja. Një funksion është i vazhdueshëm nëse grafiku i tij është një kurbë e pandërprerë pa vrima, boshllëqe ose thyerje. Grafikët e mëposhtëm paraqesin funksione të vazhdueshme.
Si përkufizim më formal i vazhdimësisë, mund të themi se një funksion f(x) është i vazhdueshëm në një pikë x = a nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:
(i) f(a) është përcaktuar (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) ekziston (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Kontrolloni funksionet e paraqitura në grafikët e mëposhtëm. Të dy funksionet nuk plotësojnë tre kushtet e vazhdimësisë:
Shikoni grafikun e parë, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) në pikën a është e vërtetë nëse x i afrohet vlerës 'a' nga ana e djathtë. Por nëse x i afrohet vlerës 'a' nga ana e majtë, f(x) nuk i afrohet f(a), prandaj është një funksion i ndërprerë.
