Båda delarna av kalkyl, differential- och integralkalkyl baseras på Limits .
Limit är den bästa förutsägelsen av en punkt. Det ger oss en uppskattning när vi inte kan beräkna resultatet direkt. Limit är det värde som funktionen "närmar sig" som ingången "närmar sig" något värde.
Låt oss förstå detta koncept med ett exempel.
Låt f(x) = 4x − 3. Beräkna värden på f(x) eftersom x tar värdet närmare 3. Titta på grafen för funktionen f(x) = 4x − 3. Undersök punkter där x är närmare 3.
Tänk på två scenarier här
(i) x närmar sig 3 från vänster och
(ii) x närmar sig 3 från höger.
| x | f(x) | x | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9,48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2,91 | 8,64 | 3.09 | 9,36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2,999 | 8,996 | 3.01 | 9.04 |
Ser du sista raden? I båda fallen när x närmar sig 3, närmar sig f(x) 9. Därför kan vi säga:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Låt oss ta ett annat exempel, hitta gränsen för funktionen f(x) när x närmar sig 2, där \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , dvs \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Om vi sätter värdet på x som 2 får vi: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{odefinierad}\)
Detta innebär att vi inte kan få värdet på limit genom att ersätta värdet på x i uttrycket. Låt oss beräkna värdet på f(x) när x närmar sig 2.
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
När x närmar sig 2 närmar sig värdet på \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) 4. Därför,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Kontinuitet kan definieras konceptuellt på några olika sätt. En funktion är kontinuerlig, om dess graf kan spåras med en penna utan att lyfta pennan från sidan. En funktion är kontinuerlig om dess graf är en obruten kurva utan hål, luckor eller avbrott. Nedanstående grafer representerar kontinuerliga funktioner.
Som en mer formell definition av kontinuitet kan vi säga att en funktion f(x) är kontinuerlig i en punkt x = a om följande villkor är uppfyllda:
(i) f(a) är definierad (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) existerar (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Kontrollera funktioner som plottas i graferna nedan. Båda funktionerna uppfyller inte de tre kontinuitetsvillkoren:
Titta på den första grafen, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) i punkt a är sant om x närmar sig värdet 'a' från höger sida. Men om x närmar sig värdet 'a' från vänster sida, närmar sig f(x) inte f(a), därför är det en diskontinuerlig funktion.
