แคลคูลัสทั้งสองส่วน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลจะขึ้นอยู่กับ ลิมิต
ขีดจำกัดคือการทำนายจุดที่ดีที่สุด มันให้ค่าประมาณเมื่อเราไม่สามารถคำนวณผลลัพธ์ได้โดยตรง Limit คือค่าที่ฟังก์ชัน 'เข้าใกล้' เมื่ออินพุต 'เข้าใกล้' ค่าบางค่า
มาทำความเข้าใจแนวคิดนี้โดยใช้ตัวอย่าง
กำหนดให้ f(x) = 4x − 3. คำนวณค่าของ f(x) โดยที่ x เข้าใกล้ 3 มากขึ้น ดูที่กราฟของฟังก์ชัน f(x) = 4x − 3. ตรวจสอบจุดที่ x เข้าใกล้ 3 มากขึ้น
พิจารณาสองสถานการณ์ที่นี่
(i) x เข้าใกล้ 3 จากซ้าย และ
(ii) x เข้าใกล้ 3 จากทางขวา
| x | ฉ(x) | x | ฉ(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
คุณเห็นแถวสุดท้ายไหม? ในทั้งสองกรณีเมื่อ x เข้าใกล้ 3 f(x) เข้าใกล้ 9 ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่า:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
อีกตัวอย่างหนึ่ง ค้นหาลิมิตของฟังก์ชัน f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 2 โดยที่ \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) เช่น \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
ถ้าเราใส่ค่า x เป็น 2 เราจะได้: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{ไม่ได้กำหนด}\)
นี่หมายความว่าเราไม่สามารถรับค่าลิมิตโดยการแทนที่ค่า x ในนิพจน์ได้ ลองคำนวณค่า f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 2
| x | ฉ(x) | x | ฉ(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ค่าของ \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) เข้าใกล้ 4 ดังนั้น
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
ความต่อเนื่อง สามารถกำหนดแนวความคิดได้หลายวิธี ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง หากสามารถวาดกราฟด้วยปากกาโดยไม่ต้องยกปากกาออกจากหน้า ฟังก์ชันจะมีความต่อเนื่องหากกราฟเป็นเส้นโค้งที่ไม่ขาดตอนโดยไม่มีรู ไม่มีช่องว่าง หรือขาด กราฟด้านล่างแสดงถึงฟังก์ชันต่อเนื่อง
เนื่องจากคำจำกัดความที่เป็นทางการของความต่อเนื่อง เราสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชัน f(x) มีความต่อเนื่องที่จุด x = a หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
(i) f(a) ถูกกำหนดไว้ (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) มีอยู่ (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = ฉ(ก)
ตรวจสอบฟังก์ชันที่ลงจุดในกราฟด้านล่าง ฟังก์ชันทั้งสองไม่เป็นไปตามเงื่อนไขความต่อเนื่องสามประการ:
ดูที่กราฟแรก \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) ที่จุด a จะเป็นจริงถ้า x เข้าใกล้ค่า 'a' จากทางด้านขวา แต่ถ้า x เข้าใกล้ค่า 'a' จากทางด้านซ้าย f(x) จะไม่เข้าใกล้ f(a) ดังนั้นมันจึงเป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง
