Hesabın her iki kısmı da Diferansiyel ve İntegral hesabı Limitlere dayanmaktadır.
Limit, bir noktanın en iyi tahminidir. Sonucu doğrudan hesaplayamadığımız zaman bize bir tahmin verir. Limit, girdi bir değere 'yaklaşırken' fonksiyonun 'yaklaştığı' değerdir.
Bir örnek kullanarak bu kavramı anlayalım.
f(x) = 4x − 3 olsun. x, 3'e yaklaştıkça f(x)'in değerlerini hesaplayın. f(x) = 4x − 3 fonksiyonunun grafiğine bakın. x'in 3'e yakın olduğu noktaları inceleyin.
Burada iki senaryoyu düşünün
(i) x 3'e soldan yaklaşıyor ve
(ii) x 3'e sağdan yaklaşıyor.
| X | f(x) | X | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Son satırı görüyor musun? Her iki durumda da x 3'e yaklaşırken f(x) 9'a yaklaşır. Dolayısıyla şunu söyleyebiliriz:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Başka bir örnek alalım, x 2'ye yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limitini bulalım, burada \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , yani \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
X'in değerini 2 olarak koyarsak şunu elde ederiz: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{Tanımsız}\)
Bu, ifadede x'in değerini değiştirerek limit değerini elde edemeyeceğimiz anlamına gelir. x 2'ye yaklaşırken f(x)'in değerini hesaplayalım.
| X | f(x) | X | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
x 2'ye yaklaştıkça, \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) değeri 4'e yaklaşır. Dolayısıyla,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Süreklilik kavramsal olarak birkaç farklı şekilde tanımlanabilir. Bir fonksiyonun grafiği, kalemi sayfadan kaldırmadan kalemle çizilebiliyorsa süreklidir. Bir fonksiyonun grafiği herhangi bir delik, boşluk veya kırılma içermeyen kesintisiz bir eğri ise süreklidir. Aşağıdaki grafikler sürekli fonksiyonları temsil etmektedir.
Sürekliliğin daha resmi bir tanımı olarak, aşağıdaki koşulların karşılanması durumunda bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olduğunu söyleyebiliriz:
(i) f(a) tanımlıdır (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) mevcuttur (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Aşağıdaki grafiklerde gösterilen fonksiyonları kontrol edin. Her iki fonksiyon da üç süreklilik koşulunu karşılamıyor:
İlk grafiğe bakın, eğer x 'a' değerine sağ taraftan yaklaşıyorsa, a noktasında \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) doğrudur. Fakat eğer x 'a' değerine sol taraftan yaklaşıyorsa, f(x) f(a)'ya yaklaşmamaktadır, dolayısıyla süreksiz bir fonksiyondur.
