Обидві частини числення, диференціальне та інтегральне числення, базуються на межах .
Ліміт – це найкраще передбачення точки. Це дає нам оцінку, коли ми не можемо обчислити результат безпосередньо. Межа – це значення, до якого «наближається» функція, коли вхід «наближається» до деякого значення.
Розберемо це поняття на прикладі.
Нехай f(x) = 4x − 3. Обчисліть значення f(x), коли x набуває значення ближче до 3. Подивіться на графік для функції f(x) = 4x − 3. Розгляньте точки, де x ближче до 3.
Розглянемо два сценарії
(i) x наближається до 3 зліва і
(ii) x наближається до 3 справа.
| х | f(x) | х | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2,999 | 8,996 | 3.01 | 9.04 |
Ви бачите останній ряд? В обох випадках, коли x наближається до 3, f(x) наближається до 9. Отже, ми можемо сказати:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Давайте візьмемо інший приклад, знайдемо межу для функції f(x), коли x наближається до 2, де \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , тобто \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Якщо ми помістимо значення x як 2, ми отримаємо: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{невизначений}\)
Це означає, що ми не можемо отримати значення межі, підставивши значення x у вираз. Давайте обчислимо значення f(x), коли x наближається до 2.
| х | f(x) | х | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Коли x наближається до 2, значення \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) наближається до 4. Отже,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Безперервність можна концептуально визначити кількома різними способами. Функція є неперервною, якщо її графік можна обвести ручкою, не відриваючи ручку від сторінки. Функція є неперервною, якщо її графік є безперервною кривою без дірок, розривів або розривів. Нижче представлені графіки неперервних функцій.
Як більш формальне визначення безперервності, ми можемо сказати, що функція f(x) неперервна в точці x = a, якщо виконуються такі умови:
(i) f(a) визначено (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) існує (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Перевірте функції, зображені на графіках нижче. Обидві функції не задовольняють трьом умовам безперервності:
Подивіться на перший графік, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) у точці a вірно, якщо x наближається до значення 'a' з правого боку. Але якщо x наближається до значення 'a' зліва, f(x) не наближається до f(a), отже, це розривна функція.
