Cả hai phần của phép tính, phép tính vi phân và tích phân đều dựa trên Giới hạn .
Giới hạn là dự đoán tốt nhất về một điểm. Nó cho chúng ta ước tính khi chúng ta không thể tính toán kết quả trực tiếp. Giới hạn là giá trị mà hàm 'tiếp cận' khi đầu vào 'tiếp cận' một giá trị nào đó.
Hãy hiểu khái niệm này bằng cách sử dụng một ví dụ.
Cho f(x) = 4x − 3. Tính các giá trị của f(x) khi x nhận giá trị gần hơn với 3. Nhìn vào biểu đồ của hàm f(x) = 4x − 3. Kiểm tra các điểm trong đó x gần 3 hơn.
Hãy xem xét hai kịch bản ở đây
(i) x tiến đến 3 từ bên trái và
(ii) x tiến đến 3 từ bên phải.
| x | f(x) | x | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5,8 | 3,5 | 11 | |
| 2,5 | 7 | 3.2 | 9,8 | |
| 2,8 | 8.2 | 3.12 | 9,48 | |
| 2.9 | 8,6 | 3.1 | 9,4 | |
| 2,91 | 8,64 | 3.09 | 9,36 | |
| 2,95 | 8,8 | 3.05 | 9,2 | |
| 2,999 | 8,996 | 3,01 | 9.04 |
Bạn có thấy hàng cuối cùng không? Trong cả hai trường hợp khi x tiến tới 3 thì f(x) tiến đến 9. Do đó, ta có thể nói:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Hãy lấy một ví dụ khác, tìm giới hạn cho hàm số f(x) khi x tiến đến 2, trong đó \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , tức là \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Nếu đặt giá trị của x là 2 thì chúng ta sẽ nhận được: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{không xác định}\)
Điều này ngụ ý rằng chúng ta không thể nhận được giá trị giới hạn bằng cách thay thế giá trị của x trong biểu thức. Hãy tính giá trị của f(x) khi x tiến tới 2.
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1 | 3 | 2,5 | 4,5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1,5 | 3,5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3,8 | 2,05 | 4.05 |
| 1.9 | 3,9 | 2,01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Khi x tiến đến 2, giá trị của \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) tiến đến 4. Do đó,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Tính liên tục có thể được định nghĩa về mặt khái niệm theo một số cách khác nhau. Một hàm số là liên tục nếu đồ thị của nó có thể được vẽ bằng bút mà không cần nhấc bút ra khỏi trang. Một hàm số liên tục nếu đồ thị của nó là một đường cong liền mạch không có lỗ trống, khoảng trống hoặc điểm đứt đoạn. Đồ thị bên dưới thể hiện các hàm liên tục.
Theo định nghĩa chính thức hơn về tính liên tục, chúng ta có thể nói hàm f(x) liên tục tại điểm x = a nếu các điều kiện sau được đáp ứng:
(i) f(a) được xác định (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) tồn tại (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Kiểm tra các chức năng được vẽ trong biểu đồ dưới đây. Cả hai hàm đều không thỏa mãn ba điều kiện liên tục:
Nhìn vào biểu đồ đầu tiên, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) tại điểm a là đúng nếu x tiến đến giá trị 'a' từ phía bên phải. Nhưng nếu x tiến đến giá trị 'a' từ vế trái, thì f(x) không tiến đến f(a), do đó nó là hàm gián đoạn.
