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रेखीय समीकरण

एक रेखीय समीकरण एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण है। उदाहरण: 2x + y = 5 एक रैखिक समीकरण है

2x + y = 5 का आलेख एक सरल रेखा है

हम एक रेखीय समीकरण को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

रैखिक समीकरण डिग्री 1 का समीकरण है और इसलिए ग्राफ पर एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। रैखिक समीकरणों को प्रथम घात समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इन समीकरणों में चर की उच्चतम घात 1 होती है।

हम कैसे कहते हैं कि कोई समीकरण रैखिक है या नहीं? इसे नीचे दिए गए कुछ उदाहरणों से समझते हैं।

उदाहरण:

• 2x + 3y = 5

किसी भी समीकरण की एक डिग्री होती है। 2x +3y = 5 में तीन पद हैं। किसी समीकरण में चर की उच्चतम शक्ति 'डिग्री' होती है। यहाँ 2x है, x की शक्ति 1 है अर्थात x ¹ । 3y में, y की भी घात 1 अर्थात y ¹ है, इसलिए यह समीकरण एक रैखिक समीकरण है

• 2x + 3y + 5xy = 10

इस समीकरण में पद 5xy की घात दो है। x की घात 1 है, और y की घात 1 है, इसलिए कुल डिग्री, जो उस पद के सभी चरों की घात का योग है, 1 + 1 = 2 है। इसलिए, यह समीकरण एक रैखिक समीकरण नहीं है।

• 2x + 3y + 7z + 9c = 20

इस समीकरण में 5 पद हैं लेकिन इन सभी पदों की घात 1 है, इसलिए यह एक रैखिक समीकरण है।

यहाँ हमने सीखा कि एक रैखिक समीकरण के लिए समीकरण में चरों की संख्या पर कोई सीमा नहीं है। सीमा उच्चतम शक्ति पर है जो एक समीकरण में हो सकती है।

• \(\mathbf{\frac{2}{x} + y = 10}\)

इस समीकरण में, x की घात -1 (x ^-1 ) है, इसलिए यह समीकरण एक रैखिक समीकरण नहीं है।

दो चरों में समकालिक रैखिक समीकरणों को हल करना

दो चरों में दो सुसंगत और स्वतंत्र समीकरणों की एक प्रणाली को निम्नानुसार हल किया जाता है:
हल करना:
11x − 7y = 13 …(मैं)
एक्स - 7y = 3 …(द्वितीय)  

तरीका:

1. अज्ञात में से किसी एक को हटा दें ( आइए y को हटा दें) ।
2. अन्य अज्ञात के लिए हल करें ( यहाँ यह x है )।
3. पहले निकाले गए अज्ञात का मान ज्ञात कीजिए ( y का मान ज्ञात कीजिए)

अज्ञात (चरण 1) में से किसी एक को समाप्त करने के लिए निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जा सकता है:

• प्रतिस्थापन विधि
• जोड़ या घटाव विधि

प्रतिस्थापन विधि:
आइए उपरोक्त समीकरणों को इस विधि से हल करें।
के लिए (मैं) हमें 11x - 7y = 13 मिलता है
−7y = 13 − 11x
\(y = \frac{(13 - 11x)}{-7} \)
दूसरे समीकरण में y का स्थानापन्न मान।
एक्स - 7y = 3
\(x - 7(\frac{13 - 11x}{-7}) = 3 \)
एक्स + 13 - 11x = 3
−10x = 3 − 13
−10x =−10
इसलिए, x = 1
\(y = \frac{(13 - 11x)}{-7} \) के रूप में, यहाँ x का मान प्रतिस्थापित करें और y का मान प्राप्त करें
\(y = \frac{13 - (11 \times 1)}{-7}\)
\(y = \frac{13 - 11}{-7} \\ y = \frac{-2}{7}\)
इसलिए, x = 1 और y = −2 ∕ 7 अभीष्ट हल है।

निष्कासन विधि:
हल करना:
2x + 3y = 10
एक्स + वाई = 6

1. दोनों समीकरणों को एक संख्या से गुणा करके दोनों समीकरणों में एक चर के गुणांक को समान (मान लें y) बनाएं।
   (2x + 3y = 10) × 1
   (एक्स + वाई = 6) × 3
   दोनों समीकरणों में अब y का गुणांक 3 है।
2. एक चर से छुटकारा पाने के लिए जोड़ें या घटाएं और फिर समीकरण को केवल एक चर के साथ हल करें (x के लिए हल करें)
   2x + 3y = 10
   3x + 3y = 18
   पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं।
   +2x + 3y =+10
   +3x + 3y = +18
   - - -
   -------------------
   −x = -8
   इसलिए, x = 8
   y = 6 − x ⇒ y = 6 − 8 = −2
   इसलिए x = 8, y = -2

समकालिक समीकरणों से संबंधित शाब्दिक समस्याएँ:

उदाहरण 1 : दो अंकों की एक निश्चित संख्या के अंकों का योग 13 है और संख्या इकाई के अंक के 7 गुना से 2 अधिक है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
माना x इकाई स्थान पर है और y दहाई स्थान पर है।
10y + x = संख्या = yx
वाई + एक्स = 13
10y + x = 2 + 7x ⇒ 10y - 6x = 2
2(5y −3x) = 2 ⇒ 5y − 3x = 1 ⇒ \( y = \frac{1 + 3x}{5}\) ... प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके
y + x = 13 ⇒ \(\frac{1 + 3x}{5} + x = 13\)
1 + 3x + 5x = 13 × 5
1 + 8x = 65 ⇒ 8x = 64
x = 8, इसलिए y = 13 − x ⇒ y = 13 − 8 = 5
संख्या 10 × 5 + 8 = 58 है (उत्तर)

उदाहरण 2: 3 कॉफी टिन और 2 चाय के पैकेट की कीमत 15 डॉलर है और एक ही प्रकार के कॉफी टिन और 4 चाय के पैकेट की कीमत 12 डॉलर है। प्रत्येक का मूल्य ज्ञात कीजिए।
माना एक कॉफी के टिन का मूल्य x रुपये है और एक चाय के पैकेट का मूल्य y रुपये है।
3x + 2y = 16
1x + 4y = 12
उन्मूलन विधि का प्रयोग करें,
12x + 8y = 64
+2x + 8y = 24
- - -
----------------
10x = 40
x = 4, इसलिए 4 + 4y = 12 ⇒ y = 2
एक कॉफी टिन की कीमत $4 है और एक चाय के पैकेट की कीमत $2 है। (उत्तर)