Back to the topics list

ekuacionet lineare

Një ekuacion linear është një ekuacion për një vijë të drejtë. Shembull: 2x + y = 5 është një ekuacion linear

Grafiku 2x + y = 5 është një vijë e drejtë

Ne mund të përcaktojmë një ekuacion linear si:

Ekuacioni linear është një ekuacion i shkallës 1 dhe kështu paraqet një vijë të drejtë në një grafik. Ekuacionet lineare quhen gjithashtu si ekuacione të shkallës së parë , pasi fuqia më e lartë e ndryshores në këto ekuacione është 1.

Si të themi nëse një ekuacion është linear apo jo? Le ta kuptojmë këtë me disa shembuj të dhënë më poshtë.

Shembull:

• 2x + 3y = 5

Çdo ekuacion ka një shkallë. 2x +3y = 5 ka tre terma. Fuqia më e lartë e ndryshores në një ekuacion është 'shkalla'. Këtu është 2x, x ka një fuqi 1 dmth x ¹ . Në 3y, y gjithashtu është me fuqi 1 dmth y ¹ , prandaj ky ekuacion është një ekuacion linear

• 2x + 3y + 5xy = 10

Në këtë ekuacion, shkalla e termit 5xy është dy. x është i fuqisë 1, dhe y është i fuqisë 1, kështu që shkalla totale, e cila është shuma e fuqisë së të gjitha ndryshoreve të atij termi është 1 + 1 = 2. Prandaj, ky ekuacion nuk është një ekuacion linear.

• 2x + 3y + 7z + 9c = 20

Në këtë ekuacion, ka 5 terma, por shkalla e të gjithë këtyre termave është 1, prandaj ky është një ekuacion linear.

Këtu mësuam se për një ekuacion linear nuk ka kufizim në një numër variablash në ekuacion. Kufizimi është në fuqinë më të lartë që mund të ketë një term në një ekuacion.

• \(\mathbf{\frac{2}{x} + y = 10}\)

Në këtë ekuacion, fuqia e x është -1 (x ^-1 ), prandaj ky ekuacion nuk është një ekuacion linear.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare të njëkohshme në dy ndryshore

Një sistem me dy ekuacione të qëndrueshme dhe të pavarura në dy ndryshore zgjidhet si më poshtë:
Zgjidh:
11x − 7y = 13 … (i)
x − 7y = 3 … (ii)  

Metoda:

1. Eliminoni një nga të panjohurat ( le të eliminojmë y) .
2. Zgjidh për të panjohurën tjetër ( këtu është x ).
3. Gjeni vlerën e të panjohurës së eliminuar më parë ( gjeni vlerën e y )

Për të eliminuar një nga të panjohurat (hapi 1) mund të përdoren metodat e mëposhtme:

• Metoda e zëvendësimit
• Metoda e mbledhjes ose e zbritjes

Metoda e zëvendësimit:
Le të zgjidhim ekuacionet e mësipërme duke përdorur këtë metodë.
Për (i) marrim 11x − 7y = 13
−7y = 13 − 11x
\(y = \frac{(13 - 11x)}{-7} \)
Vlera zëvendësuese e y në ekuacionin e dytë.
x − 7y = 3
\(x - 7(\frac{13 - 11x}{-7}) = 3 \)
x + 13 − 11x = 3
−10x = 3 − 13
−10x =−10
Prandaj, x = 1
si \(y = \frac{(13 - 11x)}{-7} \) , zëvendësoni vlerën e x këtu dhe merrni vlerën e y
\(y = \frac{13 - (11 \times 1)}{-7}\)
\(y = \frac{13 - 11}{-7} \\ y = \frac{-2}{7}\)
Prandaj, x = 1 dhe y = −2 ∕ 7 është zgjidhja e kërkuar.

Metoda e eliminimit:
Zgjidh:
2x + 3y = 10
x + y = 6

1. Bëni koeficientin e një ndryshoreje në të dy ekuacionet të njëjtë (le të themi y) duke i shumëzuar të dy ekuacionet me një numër.
   (2x + 3y = 10) × 1
   (x + y = 6) × 3
   Të dy ekuacionet tani kanë një koeficient y si 3.
2. Shtoni ose zbrisni për të hequr qafe një ndryshore dhe më pas zgjidhni ekuacionin me vetëm një ndryshore të mbetur (zgjidhni për x)
   2x + 3y = 10
   3x + 3y = 18
   Zbrisni ekuacionin e dytë nga ekuacioni i parë.
   +2x + 3y =+10
   +3x + 3y = +18
   ----
   -------------------
   −x = -8
   Prandaj, x = 8
   y = 6 − x ⇒ y = 6 − 8 = −2
   Prandaj x = 8, y = -2

Probleme me fjalë që përfshijnë ekuacione të njëkohshme:

Shembulli 1 : Shuma e shifrave të një numri të caktuar dyshifror është 13 dhe numri është 2 më shumë se 7 herë shifra e njësisë. Gjeni numrat.
Le të jetë x në vendin e njësisë dhe y në vendin e dhjetësheve.
10y + x = numri=yx
y + x = 13
10y + x = 2 + 7x ⇒ 10y − 6x = 2
2(5y −3x) = 2 ⇒ 5y − 3x = 1 ⇒ \( y = \frac{1 + 3x}{5}\) … duke përdorur metodën e zëvendësimit
y + x = 13 ⇒ \(\frac{1 + 3x}{5} + x = 13\)
1 + 3x + 5x = 13 × 5
1 + 8x = 65 ⇒ 8x = 64
x = 8, pra y = 13 − x ⇒ y = 13 − 8 = 5
Numri është 10 × 5 + 8 = 58 (Përgjigje)

Shembulli 2: Kostoja e 3 kallëpeve kafeje dhe 2 pakove të çajit është 15 dollarë dhe ajo e një kallaji kafeje dhe 4 pakove çaji të të njëjtit lloj është 12 dollarë. Gjeni koston e secilit.
Le të jetë kostoja e një kallaji kafeje $x dhe për një pako çaji është $y.
3x + 2y = 16
1x + 4y = 12
Përdorni metodën e eliminimit,
12x + 8y = 64
+2x + 8y = 24
----
-----------------
10x = 40
x = 4, pra 4 + 4y = 12 ⇒ y = 2
Kostoja e një kallaji kafeje është 4 dollarë dhe kostoja e një pakete çaji është 2 dollarë. (Përgjigje)