Back to the topics list

doğrusal denklemler

Doğrusal Denklem, düz bir çizgi için bir denklemdir. Örnek: 2x + y = 5 doğrusal bir denklemdir

2x + y = 5'in grafiği düz bir çizgidir

Doğrusal Denklemi şu şekilde tanımlayabiliriz:

Doğrusal Denklem, 1. dereceden bir Denklemdir ve dolayısıyla bir grafik üzerinde düz bir çizgiyi temsil eder. Lineer Denklemler , bu denklemlerdeki değişkenin en yüksek kuvveti 1 olduğu için birinci dereceden denklemler olarak da adlandırılır.

Bir denklemin lineer olup olmadığını nasıl anlarız? Bunu aşağıda verilen birkaç örnekle anlayalım.

Örnek:

• 2x + 3y = 5

Herhangi bir denklemin bir derecesi vardır. 2x +3y = 5'in üç terimi vardır. Bir denklemdeki değişkenin en yüksek gücü 'derece'dir. İşte 2x, x'in 1 kuvveti var yani x ¹ . 3y'de y'nin de 1 kuvveti vardır, yani y ¹ , dolayısıyla bu denklem lineer bir denklemdir

• 2x + 3y + 5xy = 10

Bu denklemde 5xy teriminin derecesi ikidir. x'in kuvveti 1'dir ve y'nin kuvveti 1'dir, dolayısıyla o terimdeki tüm değişkenlerin kuvvetlerinin toplamı olan toplam derece 1 + 1 = 2'dir. Bu nedenle, bu denklem doğrusal bir denklem değildir .

• 2x + 3y + 7z + 9c = 20

Bu denklemde 5 terim vardır ancak bu terimlerin hepsinin derecesi 1'dir, bu nedenle bu doğrusal bir denklemdir.

Burada bir Lineer Denklem için, denklemdeki bazı değişkenler üzerinde herhangi bir sınırlama olmadığını öğrendik. Sınırlama, bir denklemdeki bir terimin sahip olabileceği en yüksek kuvvettedir .

• \(\mathbf{\frac{2}{x} + y = 10}\)

Bu denklemde, x'in kuvveti -1'dir (x ^-1 ), dolayısıyla bu denklem lineer bir denklem değildir .

İki Değişkenli Eş Zamanlı Doğrusal Denklemleri Çözme

İki değişkenli iki tutarlı ve bağımsız denklem sistemi aşağıdaki gibi çözülür:
Çözmek:
11x - 7y = 13 …(Ben)
x - 7y = 3 …(ii)  

Yöntem:

1. Bilinmeyenlerden birini eleyin ( y'yi yok edelim) .
2. Diğer bilinmeyeni çözün ( burada x ).
3. Daha önce elenen bilinmeyenin değerini bulun ( y değerini bulun )

Bilinmeyenlerden birini ortadan kaldırmak için (adım 1) aşağıdaki yöntemler kullanılabilir:

• İkame yöntemi
• Toplama veya Çıkarma yöntemi

İkame yöntemi:
Yukarıdaki denklemleri bu yöntemi kullanarak çözelim.
İçin (Ben) 11x - 7y = 13 elde ederiz
-7y = 13 - 11x
\(y = \frac{(13 - 11x)}{-7} \)
İkinci denklemde y'nin ikame değeri.
x - 7y = 3
\(x - 7(\frac{13 - 11x}{-7}) = 3 \)
x + 13 - 11x = 3
-10x = 3 - 13
−10x =−10
Bu nedenle x = 1
\(y = \frac{(13 - 11x)}{-7} \) olarak, burada x'in değerini değiştirin ve y'nin değerini alın
\(y = \frac{13 - (11 \times 1)}{-7}\)
\(y = \frac{13 - 11}{-7} \\ y = \frac{-2}{7}\)
Dolayısıyla x = 1 ve y = −2 ∕ 7 gerekli çözümdür.

Eleme yöntemi:
Çözmek:
2x + 3y = 10
x + y = 6

1. Her iki denklemi de bir sayı ile çarparak bir değişkenin katsayılarını aynı yapın(y diyelim).
   (2x + 3y = 10) × 1
   ( x + y = 6 ) × 3
   Her iki denklemin de şimdi 3 olarak bir y katsayısı var.
2. Bir değişkenden kurtulmak için toplama veya çıkarma yapın ve ardından denklemi sadece bir değişken kalacak şekilde çözün (x için çözün)
   2x + 3y = 10
   3x + 3y = 18
   İkinci denklemi birinci denklemden çıkarın.
   +2x + 3y =+10
   +3x + 3y = +18
   - - -
   ------------------
   -x = -8
   Bu nedenle, x = 8
   y = 6 − x ⇒ y = 6 − 8 = −2
   Dolayısıyla x = 8, y = -2

Eşzamanlı denklemleri içeren Word Problemleri:

Örnek 1 : İki basamaklı belirli bir sayının rakamları toplamı 13'tür ve sayı, birim basamağının 7 katından 2 fazladır. Numaraları bulun.
Birimler basamağında x, onlar basamağında y olsun.
10y + x = sayı=yx
y + x = 13
10y + x = 2 + 7x ⇒ 10y - 6x = 2
2(5y −3x) = 2 ⇒ 5y − 3x = 1 ⇒ \( y = \frac{1 + 3x}{5}\) … ikame yöntemini kullanarak
y + x = 13 ⇒ \(\frac{1 + 3x}{5} + x = 13\)
1 + 3x + 5x = 13×5
1 + 8x = 65 ⇒ 8x = 64
x = 8, dolayısıyla y = 13 − x ⇒ y = 13 − 8 = 5
Sayı 10 × 5 + 8 = 58 (Cevap)

Örnek 2: 3 kahve kutusu ve 2 çay paketinin maliyeti 15$ ve aynı türden bir kahve kutusu ve 4 çay paketinin maliyeti 12$'dır. Her birinin maliyetini bulun.
Bir kahve kutusunun fiyatı x $ ve bir çay paketinin fiyatı y $ olsun.
3x + 2y = 16
1x + 4y = 12
Yok etme yöntemini kullanın,
12x + 8y = 64
+2x + 8y = 24
- - -
----------------
10x = 40
x = 4, dolayısıyla 4 + 4y = 12 ⇒ y = 2
Bir kahve kutusunun fiyatı 4$ ve bir çay paketinin fiyatı 2$'dır.(Cevap)