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convertir radianes a grados, convirtiendo grado a radianes

Ya sabemos cómo medir un ángulo en grados y radianes. Repasemos algunos conceptos.

Sea el rayo el que comienza en la posición original OA y comienza a rotar. Su posición final será OB . La medida de un ángulo es la cantidad de rotación realizada para llegar al lado terminal ( OB ) desde el lado inicial ( OA ). Hay varias unidades para medir el ángulo. La figura anterior muestra una revolución completa desde la posición del lado inicial ( OA ). Si una rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal es \(\frac{1}{360}\) de una revolución, se dice que el ángulo tiene una medida de un grado, escrito como 1 ^° . Un grado se divide en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. 1 minuto se escribe como 1 ' y un segundo como 1'' .
1° = 60 ' y 1 ' = 60 ''

Las siguientes figuras muestran ángulos cuyas medidas son 360°, 180°, 90°, -30°.
Nota: Se dice que un ángulo es positivo si la dirección de rotación es en sentido antihorario y negativo si es en sentido horario.

Existe otra unidad para medir ángulos, llamada radián . Se dice que el ángulo subtendido en el centro por un arco de longitud 1 unidad en un círculo de radio 1 unidad tiene una medida de 1 radián . La siguiente figura muestra ángulos de 1 radián y -1 radián.

O es el centro del círculo, cuando OA es la posición original y se mueve en sentido antihorario hasta la posición OB . Longitud del arco AB = AC = 1 unidad. Radio \(OA = OB = OC = 1 \) unidad entonces medida de \(\angle BOA = \angle AOC = 1 \space \textrm {radian}\) . Sabemos que la circunferencia de un círculo de radio 1 unidad es \(2\pi\) . Por lo tanto, una revolución completa subtiende un ángulo de \(2\pi\) radianes. Si en un círculo de radio r, un arco de longitud l subtiende un ángulo \(\theta\) radianes en el centro entonces
\(\theta = \frac{l}{r}\)
Como un círculo subtiende en el centro un ángulo cuya medida es \(2\pi\) radianes y su medida en grados es 360°, por lo tanto
\(\mathbf{2\pi \textrm{ radián} = 360^\circ}\)

o

\(\mathbf{\pi \textrm { radian} = 180^\circ}\)

Asignando el valor de \(\pi = \frac{22}{7}\) , 1 radián = 57°16 ' (aprox.) y 1° = 0,01746 radián (aprox.)

La relación entre radianes y grados de ángulos comunes se da en la siguiente tabla.

De la tabla anterior, podemos derivar la relación como:

Medida en radianes \(\mathbf{ = \frac{\pi}{180}} \) × Medida en grados

Medida en grados \(\mathbf{ = \frac{180}{\pi} }\) × Medida en radianes

Ejemplo 1 : Convertir 40° a unidades en radianes.
Medida en radianes = \(\frac{\pi}{180} \times 40 \) = \(\frac{2}{9} \pi\)

Ejemplo 2 : Convertir 6 radianes a grados.
Medida en grados = \(\frac{180}{\pi} \times 6 = \frac{1080 \times 7}{22} \)

= \(343\frac{7}{11} ^\circ\)
Dividir los grados en minutos y los minutos en segundos

= 343 + (7 × 60) ∕ 11 = 343° + 38 ' + 2 ∕ 11 ''

= 343° + 38 ' + 11 ''

Por lo tanto, 6 radianes = 343°38 ' 11 '' (aprox.)