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conversão de radiano em grau, grau de conversão para radiano

Já sabemos como medir um ângulo em graus e radianos. Vamos revisitar alguns dos conceitos novamente.

Deixe o raio começar na posição original OA e começar a girar. Sua posição final será OB . A medida de um ângulo é a quantidade de rotação realizada para obter o lado terminal ( OB ) do lado inicial ( OA ). Existem várias unidades para medir o ângulo. A figura acima mostra uma revolução completa da posição do lado inicial ( OA ). Se uma rotação do lado inicial para o lado terminal for \(\frac{1}{360}\) de uma revolução, diz-se que o ângulo tem uma medida de um grau, escrito como 1 ^° . Um grau é dividido em 60 minutos e um minuto em 60 segundos. 1 minuto é escrito como 1 ' e um segundo como 1'' .
1° = 60 ' e 1 ' = 60 ''

As figuras abaixo mostram ângulos cujas medidas são 360°, 180°, 90°, -30°.
Nota: Um ângulo é considerado positivo se a direção de rotação for anti-horária e negativo se for horário.

Existe outra unidade para a medida de ângulo, chamada medida radiano . O ângulo subtendido no centro por um arco de comprimento 1 unidade em um círculo de raio 1 unidade é dito ter uma medida de 1 radiano . A figura abaixo mostra ângulos de 1 radiano e -1 radiano.

O é o centro do círculo, quando OA é a posição original e move-se no sentido anti-horário para a posição OB . Comprimento do arco AB = AC = 1 unidade. Raio \(OA = OB = OC = 1 \) unidade então medida de \(\angle BOA = \angle AOC = 1 \space \textrm {radian}\) . Sabemos que a circunferência de um círculo de raio 1 unidade é \(2\pi\) . Assim, uma revolução completa subtende um ângulo de \(2\pi\) radianos. Se em um círculo de raio r, um arco de comprimento l subtende um ângulo \(\theta\) radianos no centro então
\(\theta = \frac{l}{r}\)
Como um círculo subtende no centro um ângulo cuja medida é \(2\pi\) radianos e sua medida em graus é 360°, portanto
\(\mathbf{2\pi \textrm{ radiano} = 360^\circ}\)

ou

\(\mathbf{\pi \textrm { radian} = 180^\circ}\)

Atribuindo o valor de \(\pi = \frac{22}{7}\) , 1 radiano = 57°16 ' (aprox.) e 1° =0,01746 radiano (aprox.)

A relação entre radiano e o grau dos ângulos comuns é dada na tabela abaixo

Da tabela acima, podemos derivar a relação como:

Medida de radianos \(\mathbf{ = \frac{\pi}{180}} \) × Medida de graus

Medida de grau \(\mathbf{ = \frac{180}{\pi} }\) × Medida de radiano

Exemplo 1 : Converta 40° em radianos.
Medida em radianos = \(\frac{\pi}{180} \times 40 \) = \(\frac{2}{9} \pi\)

Exemplo 2 : Converta 6 radianos em graus.
Medida de grau = \(\frac{180}{\pi} \times 6 = \frac{1080 \times 7}{22} \)

= \(343\frac{7}{11} ^\circ\)
Divida graus em minutos e minutos em segundos

= 343 + (7 × 60) ∕ 11 = 343° + 38 ' + 2 ∕ 11 '

= 343° + 38 ' + 11 ''

Portanto, 6 radianos = 343°38 ' 11 '' (aproximadamente)