Back to the topics list

правила делимости

Изучив правила делимости или тест на делимость, вы можете узнать, делится ли число на делитель полностью или нет. В этом уроке мы обсудим правила деления на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 13 с некоторыми примерами.

Каковы правила делимости?

Ненулевое целое число m делит целое число n при условии, что существует целое число q такое, что n = mq.

Мы говорим, что m является делителем n и что m является делителем n, и используем обозначение n ∕ m.

Тест на делимость помогает проверить, делится ли число на другое число без фактического деления. Если число полностью делится на другое число, это означает, что в таком случае частное будет целым числом, а в остатке от деления останется 0.

Правила делимости от 1 до 13

Делимость на 1

Каждое число делится на 1. Правило делимости на 1 не имеет каких-либо особых условий. Любое число, деленное на 1, даст само число, независимо от того, насколько оно велико. Например, 3 делится на 1, а 3000 тоже полностью делится на 1.

Делимость на 2

Любое четное число или число, последняя цифра которого является четным числом, то есть 2, 4, 6, 8, включая 0, всегда полностью делится на 2.

Проверим, делится ли 168 на 2 или нет, следующим образом:

• Рассмотрим число 168.
• Просто возьмите последнюю цифру 8 и разделите ее на 2.
• Если последняя цифра делится на 2, то число 168 также делится на 2.

Проверим, делится ли 203 на 2 или нет.

• Возьмите последнюю цифру 3 и разделите ее на 2.
• Так как 3 не делится полностью на 2, то и число 203 не делится на 2.

Делимость на 3

Правило делимости на 3 гласит, что число полностью делится на 3, если сумма его цифр делится на 3, то есть оно кратно 3.

Проверим, делится ли 531 на 3 или нет.

Возьмите сумму цифр, т.е. 5 + 3 + 1 = 9.

Теперь проверьте, делится ли сумма на 3 или нет. Если сумма кратна 3, то исходное число также делится на 3. Здесь, поскольку 9 делится на 3, 531 также делится на 3.

Рассмотрим другое число 421 и проверим, делится ли оно на 3 или нет.

Возьмем сумму цифр: 4 + 2 + 1 = 7

Является ли 7 кратным 3 или делится на 3? Нет. Следовательно, 421 также не делится на 3.

Делимость на 4

Если последние две цифры числа делятся на 4, то это число кратно 4 и полностью делится на 4.

Возьмем число 1224. Рассмотрим две последние цифры, т.е. 24. Поскольку 24 делится на 4, исходное число 1224 также делится на 4.

Делимость на 5

Числа с последней цифрой 0 или 5 всегда делятся на 5.

Например, 10, 15, 1000, 10005, 575 и т. д. делятся на 5.

Даже если вам даны очень большие числа, такие как 38657432, 4567840 или 5678545, вы можете легко определить, делится ли число полностью на 5 или нет. Числа 4567840 (последняя цифра 0) и 5678545 (последняя цифра 5) делятся на 5. Число 38657432 не делится на 5.

Делимость на 6

Числа, которые делятся и на 2, и на 3, делятся на 6. То есть, если последняя цифра данного числа четная и сумма его цифр кратна 3, то данное число также кратно 6.

Например, 960, число делится на 2, так как последняя цифра 0. Сумма цифр 9+6+0= 15, что также делится на 3. Следовательно, 960 делится на 6.

Делимость на 7

Правило делимости на 7 приведено ниже:

• Удалить последнюю цифру числа и удвоить его
• Вычесть из оставшегося числа
• Является ли число 0 или узнаваемая двузначная цифра, кратная 7. Если да, то число делится на 7.

Например, давайте проверим делимость 1073 на 7.

• Удалите из числа последнюю цифру: 3 и удвойте ее, получится 6.
• Оставшееся число становится: 107, поэтому 107−6 = 101.
• Повторяем процесс еще раз: последняя цифра 101 равна 1, и мы удваиваем ее, чтобы она стала 2.
• Оставшееся число равно 10, поэтому 10−2 = 8.
• Так как 8 не делится на 7, то и число 1073 не делится на 7.

Делимость на 8

Если последние три цифры числа делятся на 8, то число полностью делится на 8.

Например, возьмем число 24344. Рассмотрим последние три цифры, то есть 344. Поскольку 344 делится на 8, исходное число 24344 также делится на 8.

Делимость на 9

Правило делимости на 9 аналогично правилу делимости на 3. То есть, если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Например, рассмотрим число: 78534, как сумма его цифр, равно 7+8+5+3+4 = 27, что делится на 9, следовательно, 78534 делится на 9.

Делимость на 10

Любое число, последняя цифра которого 0, делится на 10.

Пример: 10, 20, 30, 100, 1200, 150000 и т. д. все делятся на 10.

Делимость на 11

Сложите и вычтите цифры в чередующемся порядке (добавьте первую цифру, вычтите следующую цифру, добавьте следующую цифру и т. д.). Затем проверьте, равен ли этот ответ 0 или делится на 11.

Например,

1364 (+1 - 3 + 6 - 4 = 0) Да

913 (+9 − 1 + 3 = 11) Да

3729 (+3−7 + 2−9 = −11) Да

987 (+9 − 8 + 7 = 8) Нет

Правила делимости на 13

Для любого данного числа, чтобы проверить, делится ли оно на 13, мы должны четыре раза добавить последнюю цифру числа к оставшемуся числу и повторять процесс, пока не получите двузначное число. Теперь проверьте, делится ли это двузначное число на 13 или нет. Если оно делится, то данное число делится на 13.

Например, давайте проверим, делится ли 2795 на 13.

Возьмите последнюю цифру: 5 и умножьте ее на 4, чтобы получилось 5 × 4 = 20.

Теперь добавьте это к оставшемуся числу, получится 279 + 20 = 299.

Повторите процесс:

Возьмите последнюю цифру 299, то есть 9, и умножьте ее на 4, чтобы получилось 9 × 4 = 36.

Теперь прибавьте это к оставшемуся числу, 29 + 36 = 65.

Число 65 делится на 13, 13 × 5 = 65, значит число: 2795 делится на 13.