Back to the topics list

سینماتیک, سینماتیک تک بعدی

آیا تا به حال متوجه شده اید که اجسام در اطراف ما در حال حرکت هستند؟ همه چیز از مسابقه تنیس گرفته تا پرواز پرنده در آسمان شامل حرکت است. هنگامی که در حال استراحت هستید، قلب شما خون را در رگ های شما حرکت می دهد. این باعث ایجاد سؤالات جالبی می شود: اگر یک فوتبال در یک زاویه خاص پرتاب شود، کجا فرود می آید؟ یا چقدر طول می کشد تا یک سفینه فضایی به فضا برسد؟

سینماتیک مطالعه حرکت نقاط، اجسام و گروهی از اجسام بدون در نظر گرفتن علل حرکت آن است. برای توصیف حرکت، سینماتیک مسیر نقاط، خطوط و سایر اجسام هندسی و همچنین خواص دیفرانسیل آنها (مانند سرعت و شتاب) را مطالعه می کند. مطالعه سینماتیک مبتنی بر عبارات کاملاً ریاضی است که برای محاسبه جنبه های مختلف حرکت مانند سرعت، شتاب، جابجایی، زمان و مسیر استفاده می شود.

در این درس به بررسی کلماتی که برای توصیف حرکت اجسام استفاده می شود می پردازیم. ما عباراتی مانند اسکالرها، بردارها، فاصله، جابجایی، سرعت، سرعت و شتاب را مطالعه خواهیم کرد که اغلب برای توصیف حرکت اجسام استفاده می شوند.

چارچوب های مرجع و جابجایی

برای توصیف حرکت یک جسم، ابتدا باید موقعیت آن را توصیف کنید - جایی که در هر زمان خاص قرار دارد. شما باید موقعیت آن را نسبت به یک چارچوب مرجع مناسب مشخص کنید. زمین اغلب به عنوان یک چارچوب مرجع استفاده می شود، و ما اغلب موقعیت اشیاء مربوط به موقعیت آن را به یا از زمین توصیف می کنیم. از نظر ریاضی، موقعیت یک شی به طور کلی با متغیر x نشان داده می شود.

چارچوب های مرجع

دو چارچوب مرجع وجود دارد:

آ. چارچوب مرجع اینرسی - این چارچوب مرجع در حالت سکون باقی می ماند یا با سرعت ثابت نسبت به سایر چارچوب های مرجع حرکت می کند. سرعت ثابتی دارد، یعنی با سرعت ثابت در یک خط مستقیم حرکت می کند و یا ثابت می ایستد. قوانین حرکت نیوتن در تمام چارچوب های مرجع اینرسی معتبر است. در اینجا یک جسم در اثر نیروهای خارجی تغییر نمی کند. چندین راه برای تصور این حرکت وجود دارد:

• زمین ما
• یک شاتل فضایی که با سرعت ثابت نسبت به زمین حرکت می کند
• موشکی که با سرعت ثابت نسبت به زمین حرکت می کند

ب چارچوب مرجع غیر اینرسی - چارچوب مرجع به یک چارچوب مرجع غیر اینرسی گفته می شود که جسمی که نیروی خارجی بر آن اثر نمی گذارد، شتاب می گیرد. در یک چارچوب مرجع غیر اینرسی. قوانین حرکت نیوتن معتبر نیستند. سرعت ثابتی ندارد و در حال شتاب است. چندین راه برای تصور این حرکت وجود دارد:

• فریم ممکن است در یک خط مستقیم حرکت کند، اما سرعت آن افزایش یا کاهش یابد.
• فریم می تواند در امتداد یک مسیر منحنی با سرعت ثابت حرکت کند
• فریم ممکن است در امتداد یک مسیر منحنی حرکت کند و سرعت آن را افزایش یا کاهش دهد

جابه جایی

جابجایی تغییر در موقعیت یک جسم نسبت به چارچوب مرجع آن است. به عنوان مثال، اگر خودرویی از خانه ای به خواربارفروشی حرکت کند، جابجایی آن فاصله نسبی فروشگاه مواد غذایی تا چارچوب مرجع است که در این مورد خانه است. کلمه جابجایی به این معنی است که یک جسم حرکت کرده یا جابجا شده است. جابجایی را می توان به صورت ریاضی به صورت زیر نشان داد:

\(\Delta x = x_f - x_o\)

جایی که Δx جابجایی است، x _f موقعیت نهایی و x _o است   موقعیت اولیه است.

اسکالرها و بردارها

بردار هر کمیتی است که هم قدر و هم جهت دارد، در حالی که یک اسکالر فقط قدر دارد.

تفاوت بین فاصله و جابجایی چیست؟ در حالی که جابجایی با هر دو جهت و قدر تعریف می شود، فاصله به تنهایی با قدر تعریف می شود. بنابراین، فاصله یک کمیت اسکالر و جابجایی یک کمیت برداری است.

به طور مشابه، سرعت یک کمیت اسکالر و سرعت یک کمیت برداری است.

جهت یک بردار در حرکت یک بعدی به سادگی با علامت مثبت (+) یا منفی (-) داده می شود. بردارها به صورت گرافیکی با فلش نشان داده می شوند. فلشی که برای نشان دادن نقاط بردار در همان جهت بردار استفاده می شود.

در فیزیک، اسکالر یک کمیت فیزیکی ساده است که با چرخش یا ترجمه سیستم مختصات تغییر نمی کند. هر کمیتی است که بتوان آن را با یک عدد بیان کرد و دارای قدر است، اما جهت ندارد. به عنوان مثال، دمای 20 ^درجه سانتیگراد، 250 کیلو کالری انرژی در یک شیرینی، محدودیت سرعت 90 کیلومتر در ساعت، قد 1.8 متری یک فرد، و فاصله 2.0 متری، همگی کمیت های مقیاسی هستند.

توجه داشته باشید که یک اسکالر می تواند منفی باشد، مانند دمای -20 ^درجه سانتیگراد. در این حالت، علامت منهای یک نقطه در مقیاس را نشان می دهد تا یک جهت. اسکالرها هرگز با فلش نشان داده نمی شوند.

سیستم های مختصات برای حرکت یک بعدی

برای توصیف جهت یک کمیت برداری، باید یک سیستم مختصات را در چارچوب مرجع تعیین کنید. برای حرکت یک بعدی، این یک سیستم مختصات ساده است که از یک خط مختصات یک بعدی تشکیل شده است. به طور کلی، هنگام توصیف حرکت افقی، حرکت به سمت راست معمولا مثبت و حرکت به سمت چپ منفی در نظر گرفته می شود. با حرکت عمودی، حرکت به سمت بالا معمولا مثبت و حرکت پایین منفی است.

زمان، سرعت و سرعت

زمان

در فیزیک، تعریف زمان ساده است - زمان تغییر یا فاصله زمانی است که تغییر رخ می دهد. واحد SI برای زمان دومین است که به اختصار 's' نامیده می شود.

بیایید درک کنیم که زمان چگونه با حرکت ارتباط دارد. ما معمولاً به زمان سپری شده برای یک حرکت خاص علاقه داریم، مثلاً چقدر طول می کشد تا یک فرد از خانه خود تا پارک پیاده روی کند. برای یافتن زمان سپری شده، زمان را در ابتدا و انتهای حرکت یادداشت کرده و آن دو را کم می کنیم. به عنوان مثال، فرد ممکن است ساعت 11 صبح از خانه خود خارج شود و در ساعت 11:30 صبح به پارک برسد، به طوری که زمان سپری شده 30 دقیقه باشد. زمان سپری شده Δt تفاوت بین زمان پایان و زمان شروع است،

Δt = t _f - t ₀

جایی که Δt تغییر زمان یا زمان سپری شده است، t _f زمان پایان حرکت و t ₀ زمان شروع حرکت است. برای سادگی، زمان شروع را صفر می‌گیریم، یعنی حرکت در زمانی برابر با صفر شروع می‌شود (t _f = 0)

سرعت

سرعت متوسط عبارت است از جابجایی (تغییر موقعیت) تقسیم بر زمان سفر ،

\(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_f - x_o}{t_f - t_o} \)

جایی که

v سرعت متوسط است. Δx تغییر در جابجایی است. x _f و x _o به ترتیب موقعیت های پایانی و ابتدایی در زمان های t _f و t _o هستند. اگر زمان شروع t _o صفر در نظر گرفته شود، سرعت متوسط به سادگی است.

\(v=\frac{\Delta x}{t}\)

برای مثال، اگر شخصی به سمت انتهای قطار راه برود. او 5 ثانیه طول می کشد تا -4 متر حرکت کند (علامت منفی نشان می دهد که جابجایی به سمت عقب قطار است). سرعت متوسط او خواهد بود

\(v=\frac{-4}{5} = - 0.8m/s\)

سرعت لحظه ای به عنوان نرخ تغییر موقعیت برای یک بازه زمانی بسیار کوچک (تقریبا صفر) تعریف می شود. اگر جسم دارای سرعت یکنواخت باشد، ممکن است سرعت آنی همان سرعت استاندارد آن باشد.

\(v_i = \lim \limits_{\Delta \to 0} \frac{ds}{dt}\)

جایی که،

• Δt بازه زمانی کوچک است.
• v _i سرعت لحظه ای است.
• s جابجایی است.
• t زمان است.

سرعت

در زبان روزمره، بیشتر مردم از اصطلاحات «سرعت» و «سرعت» به جای یکدیگر استفاده می کنند. با این حال، در فیزیک، سرعت و سرعت مفاهیم متمایز هستند. یک تفاوت عمده این است که سرعت جهت ندارد. بنابراین، سرعت یک اسکالر است.

سرعت متوسط مسافت طی شده تقسیم بر زمان سپری شده است.

توجه داشته باشید که مسافت طی شده می تواند بزرگتر از مقدار جابجایی باشد. بنابراین، سرعت متوسط می تواند بیشتر از سرعت متوسط باشد، که جابجایی تقسیم بر زمان است. به عنوان مثال، اگر به یک فروشگاه رانندگی کنید و در نیم ساعت (30 دقیقه) به خانه برگردید، و کیلومتر شمار ماشین شما نشان می دهد که مسافت طی شده 6 کیلومتر بوده است، میانگین سرعت شما 12 کیلومتر در ساعت است. با این حال، سرعت متوسط شما صفر بود، زیرا جابجایی شما برای رفت و برگشت صفر است. بنابراین، سرعت متوسط صرفاً اندازه سرعت متوسط نیست.

سرعت آنی مقدار سرعت آنی است. مقدار آن برابر با سرعت آنی است اما هیچ جهتی ندارد.

شتاب

در فیزیک، شتاب سرعتی است که در آن سرعت یک جسم با زمان تغییر می کند. این یک کمیت برداری است که هم قدر و هم جهت دارد. شتاب با نیرویی همراه است، همانطور که قانون دوم نیوتن توضیح داده است. نیرو به عنوان یک بردار حاصل ضرب جرم جسمی که شتاب می گیرد و شتاب (بردار) یا F=ma است. واحد شتاب SI متر بر ثانیه مجذور: m/s ² است

شتاب برداری است که در جهت همان تغییر سرعت است، اگرچه ممکن است همیشه در جهت حرکت نباشد. به عنوان مثال، هنگامی که یک جسم کاهش یا کاهش می یابد، شتاب آن در جهت مخالف حرکت آن است.

شتاب یک بردار در همان جهت با تغییر سرعت، Δv است. از آنجایی که سرعت یک بردار است، می تواند در قدر یا جهت تغییر کند. بنابراین شتاب تغییر در سرعت یا جهت یا هر دو است.

نمایش ریاضی شتاب:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

جایی که a شتاب است. Δv تغییر در سرعت است. Δt تغییر در زمان است.

اگر اسب مسابقه ای که از دروازه خارج می شود در 1.80 ثانیه از حالت سکون به سرعت 15 متر بر ثانیه به سمت غرب شتاب بگیرد، میانگین شتاب آن چقدر است؟

ابتدا یک طرح ترسیم می کنیم و یک سیستم مختصات به مسئله اختصاص می دهیم. این یک مشکل ساده است، اما همیشه به تجسم آن کمک می کند. توجه داشته باشید که شرق را مثبت و غرب را منفی قرار می دهیم. بنابراین، در این حالت، سرعت منفی داریم.

ما می توانیم این مشکل را با شناسایی Δv و Δt از اطلاعات داده شده و سپس محاسبه شتاب متوسط مستقیماً از معادله حل کنیم:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

⇒ \(a = \frac{-15 m/s}{1.50 s}\) = - 8.33 m/s ²

حرکت با شتاب ثابت

شتاب ثابت زمانی اتفاق می افتد که سرعت یک جسم در یک بازه زمانی مساوی به مقدار مساوی تغییر کند.

جسمی با شتاب ثابت را نباید با جسمی با سرعت ثابت اشتباه گرفت. اگر جسمی در حال تغییر سرعت خود باشد - چه با مقدار ثابت و چه مقدار متغیر - آنگاه یک جسم شتاب دهنده است. و جسمی با سرعت ثابت شتاب نمی گیرد.

کاربردها: چهار معادله سینماتیک

چهار معادله سینماتیکی وجود دارد که حرکت اجسام را بدون در نظر گرفتن علل آن توصیف می کند. چهار معادله سینماتیکی شامل پنج متغیر سینماتیکی است: d، v، v ₀ ، a و t.

جایی که،

d مخفف جابجایی جسم است.

v مخفف سرعت نهایی جسم است.

v ₀ مخفف سرعت اولیه جسم است.

a مخفف شتاب جسم است.

t نشان دهنده زمانی است که جسم برای آن حرکت کرده است.

هر یک از این معادلات فقط شامل چهار متغیر از پنج متغیر است و یک متغیر دیگر وجود ندارد. این به ما می گوید که برای بدست آوردن مقدار چهارم به مقادیر سه متغیر نیاز داریم و باید معادله ای را انتخاب کنیم که شامل سه متغیر شناخته شده و یک متغیر مجهول برای هر موقعیت خاص باشد.

معادله 1

v = v ₀ + در

معادله 2

d = \(\frac{1}{2}\) (v ₀ + v)t یا به طور متناوب، v _{میانگین} = \(\frac{d}{t}\)

معادله 3

d = v ₀ t + ( \(\frac{at^{2}}{2}\)

معادله 4

v ² = v ₀ ² + 2ad