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एक आयामी कीनेमेटीक्स, गतिकी

क्या आपने कभी गौर किया है कि हमारे चारों ओर वस्तुएँ गतिमान हैं? टेनिस मैच से लेकर आकाश में उड़ने वाले पक्षी तक हर चीज में गति शामिल है। जब आप आराम कर रहे होते हैं, तो आपका हृदय आपकी नसों के माध्यम से रक्त प्रवाहित करता है। यह दिलचस्प सवालों को जन्म देता है: अगर एक निश्चित कोण पर फेंका गया तो फुटबॉल कहां उतरेगा? या अंतरिक्ष यान को बाह्य अंतरिक्ष तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?

काइनेमेटिक्स गति के कारणों पर विचार किए बिना बिंदुओं, वस्तुओं और वस्तुओं के समूहों की गति का अध्ययन है। गति का वर्णन करने के लिए, किनेमेटिक्स बिंदुओं, रेखाओं और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र के साथ-साथ उनके अंतर गुणों (जैसे वेग और त्वरण) का अध्ययन करता है। कीनेमेटीक्स का अध्ययन विशुद्ध रूप से गणितीय अभिव्यक्तियों पर आधारित है जो गति के विभिन्न पहलुओं जैसे वेग, त्वरण, विस्थापन, समय और प्रक्षेपवक्र की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

इस पाठ में, हम वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त शब्दों की जाँच करेंगे। हम अदिश, सदिश, दूरी, विस्थापन, गति, वेग और त्वरण जैसे शब्दों का अध्ययन करेंगे, जिनका उपयोग अक्सर वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

संदर्भ फ्रेम और विस्थापन

किसी वस्तु की गति का वर्णन करने के लिए, आपको पहले उसकी स्थिति का वर्णन करना होगा - जहां वह किसी विशेष समय पर है। आपको सुविधाजनक संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष इसकी स्थिति निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। पृथ्वी को अक्सर संदर्भ फ्रेम के रूप में प्रयोग किया जाता है, और हम अक्सर पृथ्वी पर या उससे उसकी स्थिति से संबंधित वस्तुओं की स्थिति का वर्णन करते हैं। गणितीय रूप से, किसी वस्तु की स्थिति को आमतौर पर चर x द्वारा दर्शाया जाता है।

संदर्भ के फ्रेम

संदर्भ के दो फ्रेम हैं:

एक। संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा - संदर्भ का यह फ्रेम आराम पर रहता है या संदर्भ के अन्य फ्रेम के संबंध में निरंतर वेग के साथ चलता रहता है। इसका एक स्थिर वेग है, अर्थात यह एक सीधी रेखा में स्थिर गति से चल रहा है, या यह स्थिर खड़ा है। न्यूटन के गति के नियम संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेम में मान्य हैं। यहाँ, बाह्य बलों के कारण पिंड नहीं बदलता है। इस गति की कल्पना करने के कई तरीके हैं:

• हमारी पृथ्वी
• एक अंतरिक्ष यान पृथ्वी के सापेक्ष निरंतर वेग से गति करता है
• पृथ्वी के सापेक्ष निरंतर वेग से गतिमान एक रॉकेट

बी। गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम - संदर्भ के फ्रेम को संदर्भ का एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम कहा जाता है, जब एक शरीर, बाहरी बल द्वारा कार्य नहीं किया जाता है, त्वरित होता है। संदर्भ के एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम में। न्यूटन के गति के नियम मान्य नहीं हैं। इसका कोई स्थिर वेग नहीं है और यह तेज हो रहा है। इस गति की कल्पना करने के कई तरीके हैं:

• फ्रेम एक सीधी रेखा में यात्रा कर सकता है, लेकिन तेज या धीमा हो रहा है।
• फ़्रेम एक घुमावदार पथ के साथ स्थिर गति से यात्रा कर सकता है
• फ़्रेम घुमावदार पथ के साथ यात्रा कर सकता है, और तेज़ या धीमा हो सकता है

विस्थापन

विस्थापन किसी वस्तु की स्थिति में उसके संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष परिवर्तन है। उदाहरण के लिए, यदि कोई कार घर से किराने की दुकान तक जाती है, तो उसका विस्थापन किराने की दुकान की संदर्भ फ्रेम से सापेक्ष दूरी है जो इस मामले में घर है। "विस्थापन" शब्द का अर्थ है कि कोई वस्तु हिल गई है या विस्थापित हो गई है। विस्थापन को गणितीय रूप से निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

\(\Delta x = x_f - x_o\)

जहां x विस्थापन है, x _f अंतिम स्थिति है, और x _o   प्रारंभिक स्थिति है।

अदिश और सदिश

एक सदिश कोई भी मात्रा है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, जबकि एक अदिश में केवल परिमाण होता है।

दूरी और विस्थापन में क्या अंतर है? जबकि विस्थापन को दिशा और परिमाण दोनों से परिभाषित किया जाता है, दूरी को केवल परिमाण द्वारा परिभाषित किया जाता है। अत: दूरी एक अदिश राशि है और विस्थापन एक सदिश राशि है।

इसी प्रकार, गति एक अदिश राशि है और वेग एक सदिश राशि है।

एक आयामी गति में एक वेक्टर की दिशा केवल एक प्लस (+) या माइनस (-) चिह्न द्वारा दी जाती है। सदिशों को रेखांकन द्वारा तीरों द्वारा दर्शाया जाता है। एक तीर वेक्टर के समान दिशा में वेक्टर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करता था।

भौतिकी में, एक अदिश एक साधारण भौतिक मात्रा है जो समन्वय प्रणाली के घूर्णन या अनुवाद द्वारा परिवर्तित नहीं होती है। यह कोई भी राशि है जिसे एक ही संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है और इसमें परिमाण होता है, लेकिन कोई दिशा नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक 20 ^{डिग्री} सेल्सियस तापमान, एक कैंडी बार में 250 किलोकलरीज ऊर्जा, एक 90 किमी/घंटा गति सीमा, एक व्यक्ति की 1.8 मीटर ऊंचाई और 2.0 मीटर की दूरी सभी अदिश राशियां हैं।

ध्यान दें, कि एक अदिश ऋणात्मक हो सकता है, जैसे कि -20 ^o C तापमान। इस मामले में, ऋण चिह्न एक दिशा के बजाय पैमाने पर एक बिंदु को इंगित करता है। स्केलर को कभी भी तीरों द्वारा नहीं दर्शाया जाता है।

एक आयामी गति के लिए समन्वय प्रणाली

वेक्टर मात्रा की दिशा का वर्णन करने के लिए, आपको संदर्भ फ्रेम के भीतर एक समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट करनी होगी। एक-आयामी गति के लिए, यह एक सरल समन्वय प्रणाली है जिसमें एक-आयामी समन्वय रेखा होती है। सामान्य तौर पर, क्षैतिज गति का वर्णन करते समय, दाईं ओर की गति को आमतौर पर सकारात्मक माना जाता है, और बाईं ओर की गति को नकारात्मक माना जाता है। ऊर्ध्वाधर गति के साथ, गति ऊपर आमतौर पर सकारात्मक होती है और गति नीचे नकारात्मक होती है।

समय, वेग और गति

समय

भौतिकी में, समय की परिभाषा सरल है - समय परिवर्तन या अंतराल है जिस पर परिवर्तन होता है। समय के लिए SI इकाई दूसरी, संक्षिप्त रूप में 's' है।

आइए समझते हैं कि समय गति से कैसे संबंधित है। हम आमतौर पर किसी विशेष गति के लिए बीता हुआ समय में रुचि रखते हैं, जैसे कि किसी व्यक्ति को अपने घर से पार्क तक चलने में कितना समय लगता है। बीता हुआ समय ज्ञात करने के लिए, हम गति के आरंभ और अंत में समय नोट करते हैं और दोनों को घटाते हैं। उदाहरण के लिए, व्यक्ति अपने घर से सुबह 11:00 बजे निकल सकता है और 11:30 बजे पार्क पहुंच सकता है, ताकि बीता हुआ समय 30 मिनट हो। बीता हुआ समय t समाप्ति समय और प्रारंभ समय के बीच का अंतर है,

t = टी _एफ - टी ₀

जहां t समय या बीता हुआ समय में परिवर्तन है, t _f गति के अंत में समय है, और t ₀ गति की शुरुआत में समय है। सरलता के लिए हम आरंभिक समय को शून्य मान लेते हैं अर्थात गति शून्य के बराबर समय पर प्रारंभ होती है (t _f = 0)

वेग

औसत वेग यात्रा के समय से विभाजित विस्थापन (स्थिति में परिवर्तन) है ,

\(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_f - x_o}{t_f - t_o} \)

कहाँ पे

v औसत वेग है; x विस्थापन में परिवर्तन है; x _f और x _o क्रमशः t _f और t _o समय पर अंतिम और आरंभिक स्थान हैं। यदि आरंभिक समय t _o को शून्य मान लिया जाए, तो औसत वेग सरल है।

\(v=\frac{\Delta x}{t}\)

उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति किसी रेलगाड़ी के पिछले सिरे की ओर चलता है। उसे -4 मीटर चलने में 5 सेकंड का समय लगता है (ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि विस्थापन ट्रेन के पीछे की ओर है)। उसका औसत वेग होगा

\(v=\frac{-4}{5} = - 0.8m/s\)

तात्कालिक वेग को एक समय अंतराल के लिए स्थिति परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बहुत छोटा (लगभग शून्य) होता है। यदि वस्तु का एकसमान वेग है तो तात्क्षणिक वेग उसके मानक वेग के समान हो सकता है।

\(v_i = \lim \limits_{\Delta \to 0} \frac{ds}{dt}\)

कहाँ पे,

• t छोटा समय अंतराल है।
• v _मैं तात्कालिक वेग है।
• s विस्थापन है।
• टी समय है।

रफ़्तार

रोजमर्रा की भाषा में, अधिकांश लोग "गति" और "वेग" शब्दों का परस्पर उपयोग करते हैं। हालाँकि, भौतिकी में, गति और वेग अलग-अलग अवधारणाएँ हैं। एक बड़ा अंतर यह है कि गति की कोई दिशा नहीं होती है। इस प्रकार, गति एक अदिश राशि है।

औसत गति बीता हुआ समय से विभाजित दूरी है।

ध्यान दें कि तय की गई दूरी विस्थापन के परिमाण से अधिक हो सकती है। तो, औसत गति औसत वेग से अधिक हो सकती है, जो समय से विभाजित विस्थापन है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी स्टोर पर जाते हैं और आधे घंटे (30 मिनट) में घर लौटते हैं, और आपकी कार का ओडोमीटर दिखाता है कि यात्रा की गई कुल दूरी 6 किमी थी, तो आपकी औसत गति 12 किमी/घंटा थी। हालांकि, आपका औसत वेग शून्य था, क्योंकि राउंड ट्रिप के लिए आपका विस्थापन शून्य है। इस प्रकार, औसत गति केवल औसत वेग का परिमाण नहीं है।

तात्कालिक गति तात्कालिक वेग का परिमाण है। इसका मान तात्कालिक वेग के समान है लेकिन इसकी कोई दिशा नहीं है।

त्वरण

भौतिकी में, त्वरण वह दर है जिस पर किसी पिंड का वेग समय के साथ बदलता है। यह परिमाण और दिशा दोनों के साथ एक सदिश राशि है। त्वरण एक बल के साथ होता है, जैसा कि न्यूटन के द्वितीय नियम द्वारा वर्णित है; बल, एक वेक्टर के रूप में, वस्तु के द्रव्यमान के त्वरित होने और त्वरण (वेक्टर), या F=ma का गुणनफल है। त्वरण की SI इकाई मीटर प्रति सेकंड वर्ग है: m/s ²

त्वरण एक वेक्टर है जो वेग में परिवर्तन की दिशा में इंगित करता है, हालांकि यह हमेशा गति की दिशा में नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, जब कोई वस्तु धीमी या धीमी होती है, तो उसका त्वरण उसकी गति की विपरीत दिशा में होता है।

त्वरण उसी दिशा में एक सदिश है, जिस दिशा में वेग में परिवर्तन होता है, v। चूँकि वेग एक सदिश है, यह या तो परिमाण में या दिशा में बदल सकता है। इसलिए त्वरण गति या दिशा या दोनों में परिवर्तन है।

त्वरण का गणितीय निरूपण है:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

जहां a त्वरण है; v वेग में परिवर्तन है; यह समय का परिवर्तन है।

यदि गेट से बाहर आने वाला एक घुड़दौड़ का घोड़ा 1.80s में आराम से 15.0m/s के वेग से पश्चिम की ओर गति करता है, तो इसका औसत त्वरण क्या है?

सबसे पहले, हम एक रेखाचित्र खींचते हैं और समस्या के लिए एक समन्वय प्रणाली प्रदान करते हैं। यह एक साधारण समस्या है, लेकिन यह हमेशा इसकी कल्पना करने में मदद करती है। ध्यान दें कि हम पूर्व को सकारात्मक और पश्चिम को नकारात्मक के रूप में निर्दिष्ट करते हैं। इस प्रकार, इस मामले में, हमारे पास एक नकारात्मक वेग है।

हम दी गई जानकारी से v और Δt की पहचान करके और फिर समीकरण से सीधे औसत त्वरण की गणना करके इस समस्या को हल कर सकते हैं:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

⇒ \(a = \frac{-15 m/s}{1.50 s}\) = - 8.33 m/s ²

निरंतर त्वरण के साथ गति

लगातार त्वरण तब होता है जब किसी वस्तु का वेग समान समय अवधि में समान मात्रा में बदलता है।

निरंतर त्वरण वाली वस्तु को स्थिर वेग वाली वस्तु के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। यदि कोई वस्तु अपने वेग को बदल रही है - चाहे वह स्थिर मात्रा से हो या भिन्न मात्रा में - तो यह एक त्वरित वस्तु है। और एक स्थिर वेग वाली वस्तु में त्वरण नहीं हो रहा है।

अनुप्रयोग: चार गतिज समीकरण

चार गतिज समीकरण हैं जो इसके कारणों पर विचार किए बिना वस्तुओं की गति का वर्णन करते हैं। चार गतिज समीकरणों में पांच गतिज चर शामिल हैं: d, v, v ₀ , a, और t।

कहाँ पे,

d वस्तु के विस्थापन के लिए खड़ा है;

v वस्तु के अंतिम वेग के लिए खड़ा है;

v ₀ वस्तु के प्रारंभिक वेग को दर्शाता है;

ए वस्तु के त्वरण के लिए खड़ा है;

t उस समय के लिए है जिसके लिए वस्तु चली गई।

इन समीकरणों में से प्रत्येक में पाँच में से केवल चार चर होते हैं और एक अलग गायब होता है। यह हमें बताता है कि चौथे का मान प्राप्त करने के लिए हमें तीन चरों के मानों की आवश्यकता होती है और हमें उस समीकरण को चुनने की आवश्यकता होती है जिसमें प्रत्येक विशिष्ट स्थिति के लिए तीन ज्ञात चर और एक अज्ञात चर होता है।

समीकरण 1

वी = वी ₀ + पर

समीकरण 2

d = \(\frac{1}{2}\) (v ₀ + v)t या वैकल्पिक रूप से, v _औसत = \(\frac{d}{t}\)

समीकरण 3

डी = वी ₀ टी + ( \(\frac{at^{2}}{2}\) )

समीकरण 4

वी ² = वी ₀ ² + 2एडी