Back to the topics list

एक आयामी कानेमाटिक्स, गतिशास्त्र

के तपाईंले कहिल्यै ध्यान दिनुभएको छ कि वस्तुहरू हाम्रो वरिपरि गतिमा छन्? टेनिस खेलदेखि आकाशमा उड्ने चरासम्म सबै कुरामा गति समावेश हुन्छ। जब तपाइँ आराम गर्दै हुनुहुन्छ, तपाइँको मुटुले तपाइँको नसहरू मार्फत रगत चलाउँछ। यसले रोचक प्रश्नहरू जन्म दिन्छ: यदि एक निश्चित कोणमा फ्याँकियो भने फुटबल कहाँ जान्छ? वा अन्तरिक्षमा पुग्न कति समय लाग्छ?

Kinematics भनेको बिन्दुहरू, वस्तुहरू, र वस्तुहरूको समूहहरूको गतिको कारणहरू विचार नगरी यसको गतिको अध्ययन हो। गतिको वर्णन गर्न, किनेमेटिक्सले बिन्दुहरू, रेखाहरू, र अन्य ज्यामितीय वस्तुहरूको प्रक्षेपणहरू, साथै तिनीहरूको भिन्नता गुणहरू (जस्तै वेग र प्रवेग) अध्ययन गर्दछ। गतिविज्ञानको अध्ययन विशुद्ध गणितीय अभिव्यक्तिहरूमा आधारित छ जुन गतिका विभिन्न पक्षहरू जस्तै वेग, प्रवेग, विस्थापन, समय, र प्रक्षेपण गणना गर्न प्रयोग गरिन्छ।

यस पाठमा, हामी वस्तुहरूको गतिलाई वर्णन गर्न प्रयोग गरिएका शब्दहरूको अनुसन्धान गर्नेछौं। हामी स्केलर, भेक्टर, दूरी, विस्थापन, गति, वेग, र प्रवेग जस्ता शब्दहरू अध्ययन गर्नेछौं, जुन प्राय: वस्तुहरूको गति वर्णन गर्न प्रयोग गरिन्छ।

सन्दर्भ फ्रेम र विस्थापन

कुनै वस्तुको गति वर्णन गर्नको लागि, तपाईंले पहिले यसको स्थिति वर्णन गर्नुपर्छ - जहाँ यो कुनै विशेष समयमा छ। तपाईंले सुविधाजनक सन्दर्भ फ्रेमको सापेक्ष यसको स्थिति निर्दिष्ट गर्न आवश्यक छ। पृथ्वी प्राय: सन्दर्भ फ्रेमको रूपमा प्रयोग गरिन्छ, र हामी प्रायः पृथ्वीमा वा पृथ्वीबाट यसको स्थितिसँग सम्बन्धित वस्तुहरूको स्थिति वर्णन गर्छौं। गणितीय रूपमा, वस्तुको स्थिति सामान्यतया चर x द्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ।

सन्दर्भ फ्रेमहरू

त्यहाँ सन्दर्भको दुई फ्रेमहरू छन्:

a सन्दर्भको Inertial फ्रेम - सन्दर्भको यो फ्रेम आराममा रहन्छ वा सन्दर्भको अन्य फ्रेमहरूको सन्दर्भमा स्थिर वेगसँग चल्छ। यसको स्थिर गति छ, अर्थात्, यो सीधा रेखामा स्थिर गतिमा चलिरहेको छ, वा यो स्थिर छ। न्युटनको गतिका नियमहरू सन्दर्भका सबै जडत्वीय फ्रेमहरूमा मान्य छन्। यहाँ बाह्य शक्तिले शरीर परिवर्तन हुँदैन। यो गति कल्पना गर्न धेरै तरिकाहरू छन्:

• हाम्रो धर्ती
• पृथ्वीको सापेक्ष स्थिर गति संग चलिरहेको अन्तरिक्ष यान
• पृथ्वीको सापेक्ष स्थिर गति संग चलिरहेको रकेट

b Non-inercial Frame of Reference - सन्दर्भको फ्रेमलाई गैर-जडत्वीय ढाँचा हो भनिन्छ जब कुनै शरीर, बाहिरी शक्तिद्वारा कार्य नगरिएको, द्रुत हुन्छ। सन्दर्भको गैर-जडल फ्रेममा। न्यूटनको गतिको नियम मान्य छैन। यो एक स्थिर गति छैन र गति छ। यो गति कल्पना गर्न धेरै तरिकाहरू छन्:

• फ्रेम एक सीधा रेखा मा यात्रा हुन सक्छ, तर गति माथि वा ढिलो।
• फ्रेम एक स्थिर गति मा घुमाउरो बाटो संग यात्रा हुन सक्छ
• फ्रेम एक घुमाउरो बाटो संग यात्रा गर्न सकिन्छ, र गति माथि वा ढिलो

विस्थापन

विस्थापन भनेको यसको सन्दर्भ फ्रेमको सापेक्ष वस्तुको स्थितिमा परिवर्तन हो। उदाहरणका लागि, यदि कार घरबाट किराना पसलमा सर्छ भने, यसको विस्थापन किराना पसलको सन्दर्भ फ्रेममा सापेक्ष दूरी हो जुन यस अवस्थामा घर हो। "विस्थापन" शब्दले वस्तु सारिएको वा विस्थापित भएको जनाउँछ। विस्थापनलाई निम्नानुसार गणितीय रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ:

\(\Delta x = x_f - x_o\)

जहाँ Δx विस्थापन हो, x _f अन्तिम स्थिति हो, र x _o   प्रारम्भिक स्थिति हो।

स्केलर र भेक्टरहरू

भेक्टर कुनै पनि परिमाण हो जसको परिमाण र दिशा दुबै हुन्छ, जबकि स्केलरमा परिमाण मात्र हुन्छ।

दूरी र विस्थापन बीच के भिन्नता छ? जहाँ विस्थापन दिशा र परिमाण दुवै द्वारा परिभाषित गरिएको छ, दूरी मात्र परिमाण द्वारा परिभाषित गरिएको छ। यसरी, दूरी एक स्केलर मात्रा हो र विस्थापन एक भेक्टर मात्रा हो।

त्यसैगरी, गति एक स्केलर मात्रा हो र वेग एक भेक्टर मात्रा हो।

एक-आयामी गतिमा भेक्टरको दिशा केवल प्लस (+) वा माइनस (−) चिन्हद्वारा दिइएको छ। भेक्टरहरूलाई तीरहरूद्वारा ग्राफिक रूपमा प्रतिनिधित्व गरिन्छ। भेक्टरको रूपमा एउटै दिशामा भेक्टर बिन्दुहरू प्रतिनिधित्व गर्न प्रयोग गरिएको एरो।

भौतिकशास्त्रमा, एक स्केलर एक साधारण भौतिक मात्रा हो जुन समन्वय प्रणाली रोटेशन वा अनुवाद द्वारा परिवर्तन हुँदैन। यो कुनै पनि मात्रा हो जुन एकल संख्या द्वारा व्यक्त गर्न सकिन्छ र परिमाण छ, तर कुनै दिशा छैन। उदाहरणका लागि, 20 ^o C तापमान, क्यान्डी बारमा 250 किलो क्यालोरी ऊर्जा, 90 किमी/घण्टा गति सीमा, एक व्यक्तिको 1.8 मिटर उचाइ, र 2.0 मिटरको दूरी सबै स्केलर मात्राहरू हुन्।

नोट गर्नुहोस्, कि एक स्केलर नकारात्मक हुन सक्छ, जस्तै -20 ^o C तापमान। यस अवस्थामा, माइनस चिन्हले दिशाको सट्टा स्केलमा बिन्दुलाई संकेत गर्दछ। स्केलरहरू तीरहरू द्वारा प्रतिनिधित्व गर्दैनन्।

एक-आयामी गतिको लागि समन्वय प्रणालीहरू

भेक्टर मात्राको दिशा वर्णन गर्नको लागि, तपाईंले सन्दर्भ फ्रेम भित्र एक समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट गर्नुपर्छ। एक-आयामी गतिको लागि, यो एक-आयामी समन्वय रेखा समावेश भएको सरल समन्वय प्रणाली हो। सामान्यतया, तेर्सो गतिको वर्णन गर्दा, दायाँतिरको गतिलाई सामान्यतया सकारात्मक मानिन्छ, र बायाँतिरको गतिलाई नकारात्मक मानिन्छ। ठाडो गतिको साथ, गति माथि सामान्यतया सकारात्मक हुन्छ र गति तल नकारात्मक हुन्छ।

समय, वेग र गति

समय

भौतिकशास्त्रमा, समयको परिभाषा सरल छ - समय परिवर्तन हो वा अन्तराल जसमा परिवर्तन हुन्छ। समयको लागि SI एकाइ दोस्रो, संक्षिप्त 's' हो।

समयले गतिसँग कसरी सम्बन्धित छ बुझौं। हामी सामान्यतया कुनै विशेष गतिको लागि बितेको समयमा रुचि राख्छौं, जस्तै कि एक व्यक्तिलाई उसको घरबाट पार्कसम्म हिँड्न कति समय लाग्छ। बितेको समय पत्ता लगाउन, हामी गतिको सुरु र अन्त्यमा समय नोट गर्छौं र दुई घटाउँछौं। उदाहरण को लागी, व्यक्ति आफ्नो घर बाट 11:00 AM मा निस्कन सक्छ र 11:30 AM मा पार्क पुग्न सक्छ, ताकि बितेको समय 30 मिनेट हुनेछ। बितेको समय Δt अन्त समय र सुरु समय बीचको भिन्नता हो,

Δt = t _f - t ₀

जहाँ Δt समय वा बितेको समय हो, t _f गतिको अन्त्यमा समय हो, र t ₀ गतिको सुरुमा समय हो। सरलताको लागि, हामीले सुरुवात समयलाई शून्यको रूपमा लिन्छौं अर्थात् गति शून्यको बराबरको समयमा सुरु हुन्छ (t _f = 0)

वेग

औसत वेग भनेको विस्थापन (स्थितिमा परिवर्तन) यात्राको समयले विभाजित हुन्छ ,

\(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_f - x_o}{t_f - t_o} \)

कहाँ

v औसत वेग हो; Δx विस्थापनमा परिवर्तन हो; x _f र x _o क्रमशः t _f र t _o मा अन्तिम र प्रारम्भिक स्थितिहरू हुन्। यदि प्रारम्भिक समय t _o लाई शून्य मानिन्छ भने, औसत वेग सरल हुन्छ।

\(v=\frac{\Delta x}{t}\)

उदाहरणका लागि, यदि एक व्यक्ति रेलको पछाडिको छेउमा हिंड्छ। उसले -4 मिटर सार्न 5 सेकेन्ड लिन्छ (नकारात्मक चिन्हले रेलको पछाडिको विस्थापनलाई संकेत गर्दछ)। उनको औसत गति हुनेछ

\(v=\frac{-4}{5} = - 0.8m/s\)

तात्कालिक वेगलाई समय अन्तरालको लागि स्थिति परिवर्तनको दरको रूपमा परिभाषित गरिएको छ जुन धेरै सानो छ (लगभग शून्य)। यदि वस्तुमा समान वेग छ भने तात्कालिक वेग यसको मानक वेग जस्तै हुन सक्छ।

\(v_i = \lim \limits_{\Delta \to 0} \frac{ds}{dt}\)

कहाँ,

• Δt सानो-समय अन्तराल हो।
• v _i तात्कालिक वेग हो।
• s विस्थापन हो।
• t समय हो।

गति

दैनिक भाषामा, धेरैजसो व्यक्तिहरूले "गति" र "वेग" शब्दहरू एकअर्काको रूपमा प्रयोग गर्छन्। यद्यपि, भौतिकशास्त्रमा, गति र वेग फरक अवधारणाहरू हुन्। एउटा प्रमुख भिन्नता भनेको गतिको कुनै दिशा हुँदैन। यसरी, गति एक स्केलर हो।

औसत गति भनेको बितेको समयले भाग गरेको दूरी हो।

ध्यान दिनुहोस् कि यात्रा गरिएको दूरी विस्थापनको परिमाण भन्दा ठूलो हुन सक्छ। त्यसोभए, औसत गति औसत वेग भन्दा ठूलो हुन सक्छ, जुन विस्थापन समय द्वारा विभाजित छ। उदाहरणका लागि, यदि तपाईं पसलमा ड्राइभ गर्नुहुन्छ र आधा घण्टा (३० मिनेट) मा घर फर्कनुहुन्छ, र तपाईंको कारको ओडोमिटरले यात्रा गरेको कुल दूरी 6km थियो देखाउँछ भने, तपाईंको औसत गति 12 किमी/घन्टा हो। यद्यपि, तपाईंको औसत वेग शून्य थियो, किनभने राउन्ड ट्रिपको लागि तपाईंको विस्थापन शून्य छ। तसर्थ, औसत गति भनेको औसत वेगको परिमाण मात्र होइन।

तात्कालिक गति तात्कालिक वेगको परिमाण हो। यसको तात्कालिक वेगको समान मान छ तर कुनै दिशा छैन।

प्रवेग

भौतिकशास्त्रमा, त्वरण भनेको शरीरको गति समयसँगै परिवर्तन हुने दर हो। यो परिमाण र दिशा दुवै भएको भेक्टर मात्रा हो। न्यूटनको दोस्रो नियमले वर्णन गरे अनुसार प्रवेग बलको साथमा हुन्छ; बल, एक भेक्टरको रूपमा, द्रुत भइरहेको वस्तुको द्रव्यमान र त्वरण (भेक्टर), वा F=ma को उत्पादन हो। एक्सेलेरेशनको SI एकाइ मिटर प्रति सेकेन्ड वर्ग हो: m/s ²

एक्सेलेरेशन एक वेक्टर हो जसले वेगमा परिवर्तनको रूपमा उही दिशामा देखाउँछ, यद्यपि यो सधैं गतिको दिशामा नहुन सक्छ। उदाहरणका लागि, जब कुनै वस्तु ढिलो हुन्छ वा घट्दै जान्छ, यसको प्रवेग यसको गतिको विपरीत दिशामा हुन्छ।

त्वरण वेग मा परिवर्तन जस्तै दिशा मा एक भेक्टर हो, Δv। वेग एक भेक्टर भएकोले, यो परिमाण वा दिशामा परिवर्तन हुन सक्छ। त्यसैले गति वा दिशा वा दुवैमा हुने परिवर्तनलाई एक्सेलेरेशन भनिन्छ।

त्वरणको गणितीय प्रतिनिधित्व हो:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

जहाँ a त्वरण छ; Δv वेग मा परिवर्तन हो; Δt समय मा परिवर्तन हो।

यदि गेटबाट बाहिर निस्कने रेस घोडाले 1.80s मा पश्चिममा 15.0m/s को वेगमा विश्रामबाट गति लिन्छ भने, यसको औसत प्रवेग कति हुन्छ?

पहिले, हामी स्केच कोर्छौं र समस्याको लागि एक समन्वय प्रणाली नियुक्त गर्दछौं। यो एक साधारण समस्या हो, तर यसले सधैं यसलाई कल्पना गर्न मद्दत गर्दछ। ध्यान दिनुहोस् कि हामीले पूर्वलाई सकारात्मक र पश्चिमलाई नकारात्मक रूपमा तोकेका छौं। यसैले, यस अवस्थामा, हामीसँग नकारात्मक गति छ।

हामीले दिइएको जानकारीबाट Δv र Δt पहिचान गरेर र त्यसपछि समीकरणबाट सीधै औसत प्रवेग गणना गरेर यो समस्या समाधान गर्न सक्छौं:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

⇒ \(a = \frac{-15 m/s}{1.50 s}\) = - 8.33 m/s ²

स्थिर गति संग गति

स्थिर प्रवेग तब हुन्छ जब कुनै वस्तुको वेग समान समयावधिमा बराबर मात्रामा परिवर्तन हुन्छ।

स्थिर प्रवेग भएको वस्तुलाई स्थिर गति भएको वस्तुसँग भ्रमित गर्नु हुँदैन। यदि कुनै वस्तुले आफ्नो गति परिवर्तन गर्दैछ - चाहे स्थिर मात्रामा होस् वा फरक मात्रामा - तब यो एक गतिवर्धक वस्तु हो। र स्थिर गति भएको वस्तुले गति लिइरहेको छैन।

अनुप्रयोगहरू: चार किनेमेटिक समीकरणहरू

त्यहाँ चार किनेमेटिक समीकरणहरू छन् जसले वस्तुहरूको गतिलाई यसको कारणहरू विचार नगरी वर्णन गर्दछ। चार किनेमेटिक समीकरणहरूले पाँच काइनेमेटिक चरहरू समावेश गर्दछ: d, v, v ₀ , a, र t।

कहाँ,

d वस्तुको विस्थापनको लागि खडा हुन्छ;

v वस्तुको अन्तिम वेग हो;

v ₀ वस्तुको प्रारम्भिक वेगको लागि खडा हुन्छ;

वस्तुको प्रवेगको लागि खडा हुन्छ;

t समयको लागि खडा हुन्छ जसको लागि वस्तु सारियो।

यी प्रत्येक समीकरणले पाँच चर मध्ये चार मात्र समावेश गर्दछ र फरक फरक छुटेको छ। यसले हामीलाई बताउँछ कि हामीलाई चौथोको मान प्राप्त गर्न तीन चरहरूको मान चाहिन्छ र हामीले प्रत्येक विशिष्ट परिस्थितिको लागि तीन ज्ञात चरहरू र एउटा अज्ञात चर समावेश गर्ने समीकरण छनोट गर्न आवश्यक छ।

समीकरण १

v = v ₀ + at

समीकरण २

d = \(\frac{1}{2}\) (v ₀ + v)t वा वैकल्पिक रूपमा, v _औसत = \(\frac{d}{t}\)

समीकरण ३

d = v ₀ t + ( \(\frac{at^{2}}{2}\)

समीकरण ४

v ² = v ₀ ² + 2ad