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satz des pythagoras

In dieser Lektion lernen wir, was der Satz des Pythagoras ist und wie man ihn benutzt.

Sehen wir uns zunächst einige Definitionen an .

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90-Grad-Winkel innerhalb des Dreiecks, der als rechter Winkel bezeichnet wird. Oft wird der rechte Winkel mit einem Kästchen dargestellt.

Hypotenuse

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite. Es ist die Seite direkt gegenüber dem rechten Winkel. Es ist die einzige Seite des Dreiecks, die nicht Teil des rechten Winkels ist.

Exponenten

Ein Exponent ist eine Zahl, die leicht über der rechten Seite einer anderen Zahl erscheint, etwa so: 2 ³ . Es ist eine Größe, die als Symbol neben der Zahl oder dem Ausdruck die Potenz angibt, mit der eine bestimmte Zahl oder ein bestimmter Ausdruck potenziert wird (z. B. 2 ³ = 2 × 2 × 2).

Jetzt verstehen wir den Satz des Pythagoras.

Über 2000 Jahre wurde eine erstaunliche Entdeckung über Dreiecke gemacht:

Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel (90 ^° ) hat und Quadrate auf jeder der drei Seiten gemacht werden, dann hat das größte Quadrat genau die gleiche Fläche wie die anderen beiden Quadrate!

Es heißt "Satz des Pythagoras" und kann in einer kurzen Gleichung geschrieben werden als:

a ² + b ² = c ²

wo,

c ist die längste Seite des Dreiecks.

a und b sind die anderen beiden Seiten.

Da die längste Seite des Dreiecks „Hypotenuse“ genannt wird, lautet die formale Definition:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten.

Der Satz des Pythagoras gibt die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks an, wobei c für die Hypotenuse steht und a und b die Seiten sind, die den rechten Winkel bilden. Die Formel lautet:

a ² + b ² = c ²

Es wird gelesen „a-Quadrat plus b-Quadrat gleich c-Quadrat“.

Mal sehen, wie es funktioniert.

Beispiel 1

Betrachten Sie das folgende rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 3,4,5

⇒ 3 ² + 4 ² = 5 ²

⇒ 9 + 16 = 25

Wir sehen also, es funktioniert!

Das ist nützlich, denn wenn wir die Längen von zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können wir die Länge der dritten Seite finden. Aber denken Sie daran, dass es nur auf dem rechtwinkligen Dreieck funktioniert!

Beispiel #2

Lassen Sie uns nach einem weiteren Dreieck unten auflösen. Kannst du den Wert von c herausfinden ?

⇒ 5 ² + 12 ² = c ²

⇒ 25 + 144 = c ²

⇒ 169 = c ²

⇒ \(\sqrt{169}\) = c

⇒ 13 = c

Der Wert von c ist also 13.

Beispiel #3

Betrachten wir eine andere Art von Problem mit dem Satz des Pythagoras.

Hat das folgende Dreieck einen rechten Winkel?

Wende den Satz des Pythagoras an:

⇒ a ² + b ² = c ²

Wenn wir nach a ² + b ² auflösen, erhalten wir

⇒ 10 ² + 24 ² = 100 + 576 = 676

Auflösen nach c ²

⇒ c ² = 26 ^{2 =} 676

Sie sind gleich, also JA, dieses Dreieck hat einen rechten Winkel.

Was sind die pythagoräischen Tripel?

Die pythagoreischen Tripel sind die drei ganzen Zahlen, die im Satz des Pythagoras verwendet werden, nämlich a, b und c.

Warum ist der Satz des Pythagoras wichtig?

• Es hilft herauszufinden, ob das Dreieck ein rechter Winkel ist. Wenn die Summe zweier Quadratseiten gleich dem Quadratwert der dritten Seite ist, die die Hypotenuse ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck.
• Es hilft auch, fehlende Seitenlängen eines Dreiecks zu finden. Wir können nicht nur die Länge der dritten Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden, sondern auch die fehlenden Seitenlängen von Quadraten und Rechtecken, wenn die Dreiecke zusammengeschoben werden. Somit kann der Satz des Pythagoras helfen, Rechtecke und Quadrate zu bauen.
• Bauherren verwenden den Satz des Pythagoras, um dabei zu helfen, die rechten Winkel einzuhalten und Häuser, Dächer, Treppen usw. zu bauen.
• Wir können es auch in verschiedenen Aspekten unseres Lebens verwenden, zum Beispiel um die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten zu berechnen, wenn wir reisen.

Fassen wir zum Abschluss zusammen, was wir in dieser Lektion gelernt haben.

Der Satz des Pythagoras beschreibt die Beziehungen zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Das Quadrat der Hypotenuse, die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Seiten. Die Formel lautet: a ² + b ² = c ² . Wir können bestimmen, ob das Dreieck rechtwinklig ist oder nicht, und auch den Satz des Pythagoras verwenden, um die fehlenden Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden.