Back to the topics list

پائیٹاگورس کا نظریہ

اس سبق میں، ہم سیکھیں گے کہ Pythagoras Theorem کیا ہے اور اسے کیسے استعمال کیا جائے۔

سب سے پہلے، آئیے چند تعریفیں دیکھیں ۔

سیدھی مثلث

ایک دائیں مثلث میں مثلث کے اندر ایک 90 ڈگری کا زاویہ ہوتا ہے، جسے صحیح زاویہ کہتے ہیں۔ اکثر، صحیح زاویہ ایک باکس کے ساتھ دکھایا جاتا ہے.

Hypotenuse

دائیں مثلث میں، hypotenuse سب سے لمبا رخ ہے۔ یہ دائیں زاویہ سے براہ راست اس پار کی طرف ہے۔ یہ مثلث کا واحد رخ ہے جو صحیح زاویہ کا حصہ نہیں ہے۔

ایکسپونٹس

اکسپوننٹ ایک عدد ہے جو کسی دوسرے نمبر کے دائیں طرف اس طرح ظاہر ہوتا ہے: 2 ³ ۔ یہ ایک مقدار ہے جو اس طاقت کی نشاندہی کرتی ہے جس کی طرف ایک دیئے گئے نمبر یا اظہار کو اٹھایا جاتا ہے، نمبر یا اظہار کے ساتھ ایک علامت کے طور پر (مثلاً 2 ³ = 2 × 2 × 2)۔

اب، ہم Pythagoras Theorem کے بارے میں سمجھتے ہیں۔

2000 سالوں میں، مثلث کے بارے میں ایک حیرت انگیز دریافت ہوئی:

جب ایک مثلث کا صحیح زاویہ (90 ^o ) ہوتا ہے اور تینوں اطراف میں مربع بنائے جاتے ہیں تو سب سے بڑے مربع کا رقبہ بالکل وہی ہوتا ہے جو باقی دو مربعوں کا ہوتا ہے!

اسے "Pythagoras Theorem" کہا جاتا ہے اور اسے ایک مختصر مساوات میں لکھا جا سکتا ہے جیسے:

a ² + b ² = c ²

کہاں،

c مثلث کا سب سے لمبا رخ ہے۔

a اور b دوسرے دو رخ ہیں۔

جیسا کہ مثلث کے سب سے لمبے حصے کو 'ہائپوٹینیس' کہا جاتا ہے، رسمی تعریف یہ ہے:

دائیں زاویہ والے مثلث میں، فرضی کا مربع دوسرے دو اطراف کے مربعوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔

پائتھاگورس تھیوریم ایک دائیں مثلث کے اطراف کے درمیان تعلق کو بیان کرتا ہے، جہاں c فرضی کا مطلب ہے، اور a اور b وہ رخ ہیں جو صحیح زاویہ بناتے ہیں۔ فارمولا ہے:

a ² + b ² = c ²

اسے پڑھا جاتا ہے ''a-squared جمع b-squared برابر c-squared''۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ یہ کیسے کام کرتا ہے۔

مثال نمبر 1

اطراف 3,4,5 کے ساتھ درج ذیل دائیں زاویہ والے مثلث کو دیکھیں

⇒ 3 ² + 4 ² = 5 ²

⇒ 9 + 16 = 25

تو، ہم دیکھتے ہیں کہ یہ کام کرتا ہے!

یہ مفید ہے کیونکہ اگر ہم ایک دائیں زاویہ مثلث کے دو اطراف کی لمبائی کو جانتے ہیں، تو ہم تیسرے رخ کی لمبائی تلاش کر سکتے ہیں۔ لیکن یاد رکھیں یہ صرف دائیں زاویہ والے مثلث پر کام کرتا ہے!

مثال نمبر 2

آئیے ذیل میں ایک اور مثلث کو حل کریں۔ کیا آپ c کی قدر معلوم کر سکتے ہیں ؟

⇒ 5 ² + 12 ² = c ²

⇒ 25 + 144 = c ²

⇒ 169 = c ²

⇒ \(\sqrt{169}\) = c

⇒ 13 = c

تو، c کی قدر 13 ہے۔

مثال نمبر 3

آئیے Pythagoras Theorem کا استعمال کرتے ہوئے ایک اور قسم کے مسئلے کو دیکھتے ہیں۔

کیا درج ذیل مثلث کا صحیح زاویہ ہے؟

پائتھاگورس تھیوریم کا اطلاق کریں:

⇒ a ² + b ² = c ²

² + b ² کو حل کرنے سے، ہمیں ملتا ہے۔

⇒ 10 ² + 24 ² = 100 + 576 = 676

سی ² کے لیے حل کرنا

⇒ c ² = 26 ^{2 =} 676

وہ برابر ہیں، تو ہاں اس مثلث کا صحیح زاویہ ہے۔

Pythagorean Triples کیا ہیں؟

Pythagorean Triples Pythagorean Theorem میں استعمال ہونے والے تین عدد ہیں، جو a, b اور c ہیں۔

Pythagorean Theorem کیوں اہم ہے؟

• یہ معلوم کرنے میں مدد کرتا ہے کہ آیا مثلث صحیح زاویہ ہے۔ اگر دو مربع کناروں کا مجموعہ تیسری طرف کی مربع قدر کے برابر ہے، جو کہ فرضی ہے، تو، مثلث ایک دائیں زاویہ والی مثلث ہے۔
• یہ مثلث کی گمشدہ طرف کی لمبائی کو تلاش کرنے میں بھی مدد کرتا ہے۔ ہم نہ صرف دائیں زاویہ مثلث کے تیسرے رخ کی لمبائی تلاش کرسکتے ہیں بلکہ جب تکون کو ایک ساتھ دھکیل دیا جاتا ہے تو ہم مربعوں اور مستطیلوں کی گمشدہ طرف کی لمبائی بھی تلاش کرسکتے ہیں۔ اس طرح، پائتھاگورین تھیوریم مستطیل اور مربع بنانے میں مدد کر سکتا ہے۔
• معمار درست زاویہ رکھنے اور مکانات، چھتوں، سیڑھیوں وغیرہ کی تعمیر میں مدد کے لیے پائتھاگورین تھیوریم کا استعمال کرتے ہیں۔
• ہم اسے اپنی زندگی کے مختلف پہلوؤں میں بھی استعمال کر سکتے ہیں، مثال کے طور پر، جب ہم سفر کر رہے ہوں تو دو پوائنٹس کے درمیان کم ترین فاصلے کا حساب لگانا۔

سمیٹنے کے لیے، آئیے اس سبق میں جو کچھ سیکھا ہے اس کا خلاصہ کرتے ہیں۔

پائتھاگورین تھیوریم دائیں مثلث کے اطراف کے درمیان تعلقات کو بیان کرتا ہے۔ فرضی کا مربع، صحیح زاویہ کے مخالف سمت، دونوں اطراف کے مربعوں کے مجموعہ کے برابر ہے۔ فارمولا ہے: a ² + b ² = c ² ۔ ہم اس بات کا تعین کر سکتے ہیں کہ مثلث دائیں زاویہ ہے یا نہیں اور ایک دائیں زاویہ مثلث کی گمشدہ طرف کی لمبائی کو تلاش کرنے کے لیے Pythagoras Theorem کا بھی استعمال کرتے ہیں۔