ضع في اعتبارك مجموعة الأرقام التالية:
(ط) 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، ...
`2` 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، ...
(3) 1 ، 5 ، 3 ، 7 ، ...
`4` 3 ، 12 ، 43 ، 50 ، ...
هل لاحظت أن المصطلحات في (1) و (2) مرتبة بترتيب معين ووفقًا لقاعدة محددة ، أي ،
(ط) الشروط بترتيب تصاعدي ويتم الحصول على كل مصطلح لاحق بإضافة 3 إلى المصطلح السابق.
(2) الشروط بترتيب تصاعدي ويتم الحصول على كل مصطلح لاحق بضرب المصطلح السابق في 2.
لا يتبع العدد المحدد في (3) أي ترتيب أو قاعدة والرقم المحدد في (4) بترتيب تصاعدي ولكنه لا يتبع أي قاعدة.
تسمى مجموعة الأرقام في (1) و (2) التسلسل. التسلسل عبارة عن مجموعة من الأرقام المحددة بترتيب محدد بواسطة قاعدة أو قانون معين. كل عنصر من عناصر المجموعة يسمى مصطلح. يمكن أن يكون التسلسل محدودًا أو غير محدود. التسلسل المحدود هو الذي ينتهي ويملك المصطلح الأخير. على سبيل المثال 3 ، 9 ، 81 ، 6561 عبارة عن تسلسل محدود. التسلسل اللانهائي هو الذي ليس له حد أخير. على سبيل المثال ، 30 ، 24 ، 18 ، 12 ، 6 ، 0 ، -6 ، -12 ، ... نستخدم عادةً "..." للإشارة إلى أن التسلسل يستمر بدون قيود.
يتم تعريف السلسلة على أنها مجموع شروط التسلسل. على سبيل المثال ، سلسلة التسلسل الواردة في (1) و (2) هي
(ط) 2 + 5 + 8 + 11 + ...
(ب) 2 + 4 + 8 + 16 + ...
يسمى التسلسل الذي يزداد فيه المصطلح باستمرار أو ينقص بنفس الرقم بالتقدم الحسابي. يسمى الرقم الثابت الذي تزيد أو تنقص بواسطته بالفرق المشترك للتقدم الحسابي.
على سبيل المثال ، 121،131،141،151
يمكنك أن ترى أن الفرق بين الحدود المتتالية يساوي 10 (131-121 ، 141-131 ، 151-141) ، أي الفرق المشترك = 10. لذا فإن هذه المجموعة من الأرقام تشكل تقدمًا حسابيًا.
إذا كان المصطلح الأول من التقدم الحسابي هو "أ" والفرق المشترك هو "د". تسلسل تشكيل AP هو:
أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، ...
إيجاد الحد n من التقدم الحسابي
إذن ، يكون T n هو الحد رقم n للتقدم الحسابي
| T n = a + (n - 1) d |
هنا a هو الحد الأول ، d هو الفرق المشترك و n هو عدد الحدود. أيضا ، يمكن اشتقاق الفرق المشترك d باستخدام الصيغة أدناه
| د = T n - T n-1 |
دعونا نحاول حل بعض الأسئلة
السؤال 1: هل التسلسل 102 ، 120 ، 130 ، 148 يشكل AP؟
الحل: الفرق بين المصطلحات: 120-102 = 18 ، 130-120 = 10 ، 148-130 = 18
نظرًا لأن الفرق بين المصطلحات المتتالية غير متساوٍ ، فإنه لا يشكل تقدمًا حسابيًا
السؤال 2: اكتب أول أربعة حدود للتقدم الحسابي الذي يكون حده الأول 6 والفرق المشترك هو 4.
الحل: مثل T 2 = 6 + (2-1) 4 = 6 + 4 = 10
إذن ، الحدود الأربعة الأولى هي 6 ، 10 ، 14 ، 18
السؤال 3: كم عددًا مكونًا من رقمين يقبل القسمة على 4؟
الحل: الأعداد المكونة من رقمين القابلة للقسمة على 4 هي 12 ، 16 ، ... ، 96
أ = 12 ، د = 4 ، تي ن = 96 ، ن =؟
96 = 12 + (ن - 1) 4
4 ن - 4 + 12 = 96
4 ن + 8 = 96
4 ن = 88 ⇒ ن = 22
يتم الحصول على مجموع S للأرقام n الأولى من التقدم الحسابي من خلال الصيغة:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
أو
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
هنا S هو مجموع أول n من الأعداد ، و d هو الفرق ، و a هو الحد الأول و l هو الحد الأخير.
السؤال: أوجد مجموع أول 10 حدود للتقدم الحسابي 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، ...
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
الجواب: مجموع أول 10 حدود هو 155
