নিম্নলিখিত সংখ্যার সেট বিবেচনা করুন:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
আপনি কি লক্ষ্য করেছেন যে (i) এবং (ii) এর পদগুলি একটি নির্দিষ্ট ক্রমে এবং একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে সাজানো হয়েছে , অর্থাৎ,
(i) পদগুলি ক্রমবর্ধমান ক্রমে রয়েছে এবং প্রতিটি পরবর্তী পদ পূর্ববর্তী মেয়াদে 3 যোগ করে প্রাপ্ত হয়।
(ii) পদগুলি ক্রমবর্ধমান ক্রমে রয়েছে এবং প্রতিটি পরবর্তী পদটি পূর্ববর্তী পদটিকে 2 দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত হয়৷
(iii) এ প্রদত্ত নম্বর সেটটি কোনো ক্রম বা নিয়ম অনুসরণ করে না এবং (iv) নম্বর সেটটি ক্রমবর্ধমান ক্রমে রয়েছে কিন্তু কোনো নিয়ম অনুসরণ করে না।
(i) এবং (ii) সংখ্যার সেটকে ক্রম বলা হয়। একটি ক্রম হল কিছু নির্দিষ্ট নিয়ম বা আইন দ্বারা নির্দিষ্ট ক্রমে নির্দিষ্ট করা সংখ্যার একটি সেট। সেটের প্রতিটি উপাদানকে একটি পদ বলা হয়। একটি ক্রম সসীম বা অসীম হতে পারে। একটি সীমিত ক্রম হল যা শেষ হয় এবং শেষ পদ থাকে। উদাহরণস্বরূপ 3, 9, 81, 6561 হল সসীম ক্রম। একটি অসীম ক্রম হল এমন একটি যার কোন শেষ পদ নেই। উদাহরণস্বরূপ, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … আমরা সাধারণত '...' ব্যবহার করি বোঝাতে যে ক্রমটি আবদ্ধ ছাড়াই চলতে থাকে।
একটি ক্রম একটি ক্রম পদের যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়. উদাহরণস্বরূপ, (i) এবং (ii) এ প্রদত্ত অনুক্রমের জন্য সিরিজ
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
একটি ক্রম যেখানে এর শব্দটি একই সংখ্যা দ্বারা ক্রমাগত বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তাকে একটি গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়। যে নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা তারা বৃদ্ধি বা হ্রাস করে তাকে পাটিগণিত অগ্রগতির সাধারণ পার্থক্য বলে।
উদাহরণস্বরূপ, 121,131,141,151
আপনি দেখতে পাচ্ছেন ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে পার্থক্যটি 10 (131-121, 141-131, 151-141) এর সমান, অর্থাৎ সাধারণ পার্থক্য = 10। সুতরাং সংখ্যার এই সেটটি একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে।
যদি একটি প্রথম মেয়াদে পাটিগণিতের অগ্রগতি হল 'a' এবং সাধারণ পার্থক্য হল 'd'। একটি AP গঠনের ক্রম হল:
a, (a + d), (a + 2d), …
একটি গাণিতিক অগ্রগতির n তম পদ সন্ধান করা
T n তখন একটি গাণিতিক অগ্রগতির n তম পদ
| T n = a + (n − 1)d |
এখানে a হল প্রথম পদ, d হল সাধারণ পার্থক্য এবং n হল পদের সংখ্যা। এছাড়াও, সাধারণ পার্থক্য d নীচের সূত্রটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে
| d = T n − T n-1 |
আসুন কয়েকটি প্রশ্নের সমাধান করার চেষ্টা করি
প্রশ্ন 1: ক্রম 102, 120, 130, 148 কি একটি AP গঠন করে?
সমাধান: পদের মধ্যে পার্থক্য: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
যেহেতু পরপর পদগুলির মধ্যে পার্থক্য সমান নয় তাই এটি একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে না
প্রশ্ন 2: পাটিগণিতের অগ্রগতির প্রথম চারটি পদ লিখুন যার প্রথম পদ 6 এবং সাধারণ পার্থক্য 4।
সমাধান: T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10 হিসাবে
অতএব, প্রথম চারটি পদ হল 6, 10, 14, 18
প্রশ্ন 3: কয়টি দুই অঙ্কের সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য?
সমাধান: 4 দ্বারা বিভাজ্য দুটি সংখ্যার সংখ্যা হল 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম n সংখ্যার যোগফল S সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
বা
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
এখানে S হল প্রথম n সংখ্যার যোগফল, d হল পার্থক্য, a হল প্রথম পদ এবং l হল শেষ পদ।
প্রশ্ন: পাটিগণিতের অগ্রগতি 2, 5, 8, 11, … এর প্রথম 10টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
উত্তর: প্রথম 10টি পদের যোগফল 155
