Betrachten Sie die folgende Reihe von Zahlen:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Ist Ihnen aufgefallen, dass die Begriffe in (i) und (ii) in einer bestimmten Reihenfolge und nach einer bestimmten Regel angeordnet sind , d. h.
(i) Die Terme sind in aufsteigender Reihenfolge und jeder nachfolgende Term wird durch Addieren von 3 zum vorhergehenden Term erhalten.
(ii) Die Terme sind in aufsteigender Reihenfolge und jeder nachfolgende Term wird durch Multiplizieren des vorhergehenden Terms mit 2 erhalten.
Der in (iii) angegebene Zahlensatz folgt keiner Reihenfolge oder Regel, und der in (iv) angegebene Zahlensatz ist in aufsteigender Reihenfolge, folgt aber keiner Regel.
Die Menge der Zahlen in (i) und (ii) wird Sequenz genannt. Eine Sequenz ist eine Reihe von Zahlen, die durch eine bestimmte Regel oder ein Gesetz in einer bestimmten Reihenfolge angegeben sind. Jedes Element der Menge wird als Term bezeichnet. Eine Folge kann endlich oder unendlich sein. Eine endliche Folge ist die, die endet und den letzten Term hat. Zum Beispiel ist 3, 9, 81, 6561 eine endliche Folge. Eine unendliche Folge ist eine Folge, die keinen letzten Term hat. Zum Beispiel 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Wir verwenden normalerweise „…“, um anzuzeigen, dass die Sequenz ohne Begrenzung fortgesetzt wird.
Eine Reihe ist definiert als die Summe der Glieder einer Folge. Beispielsweise sind die Reihen für die in (i) und (ii) angegebene Sequenz
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Eine Folge, bei der ihr Term kontinuierlich um dieselbe Zahl zunimmt oder abnimmt, wird als arithmetische Progression bezeichnet. Die feste Zahl, um die sie sich erhöhen oder verringern, heißt gemeinsame Differenz der arithmetischen Folge.
Zum Beispiel 121.131.141.151
Sie können sehen, dass die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen gleich 10 ist (131-121, 141-131, 151-141), dh gemeinsame Differenz = 10. Diese Zahlenreihe bildet also eine arithmetische Folge.
Wenn der erste Term von an arithmetische Progression ist 'a' und die gemeinsame Differenz ist 'd'. Die Sequenz, die einen AP bildet, ist:
a, (a + d), (a + 2d), …
Den n- ten Term einer arithmetischen Folge finden
T n sei dann der n- te Term einer arithmetischen Folge
| Tn = a + (n − 1)d |
hier ist a der erste Term, d die gemeinsame Differenz und n die Anzahl der Terme. Außerdem kann die gemeinsame Differenz d unter Verwendung der folgenden Formel abgeleitet werden
| d = T n − T n-1 |
Lassen Sie uns versuchen, ein paar Fragen zu lösen
Frage 1: Bildet die Folge 102, 120, 130, 148 einen AP?
Lösung: Differenz zwischen den Termen: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
Da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen nicht gleich ist, bildet sie keine arithmetische Progression
Aufgabe 2: Schreiben Sie die ersten vier Terme der arithmetischen Folge, deren erster Term 6 ist und die gemeinsame Differenz 4 ist.
Lösung: Als T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Daher sind die ersten vier Terme 6, 10, 14, 18
Frage 3: Wie viele zweistellige Zahlen sind durch 4 teilbar?
Lösung: Zweistellige Zahlen, die durch 4 teilbar sind, sind 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Die Summe S der ersten n Zahlen einer arithmetischen Folge ergibt sich aus der Formel:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
ODER
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Dabei ist S die Summe der ersten n Zahlen, d die Differenz, a der erste Term und l der letzte Term.
Aufgabe: Finden Sie die Summe der ersten 10 Terme der arithmetischen Folge 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Antwort: Die Summe der ersten 10 Terme ist 155
