Considere el siguiente conjunto de números:
(yo) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
¿Notó que los términos en (i) y (ii) están dispuestos en un orden específico y de acuerdo con una regla definida , es decir,
(i) Los términos están en orden creciente y cada término subsiguiente se obtiene sumando 3 al término anterior.
(ii) Los términos están en orden creciente y cada término subsiguiente se obtiene multiplicando el término anterior por 2.
El conjunto de números dado en (iii) no sigue ningún orden o regla y el conjunto de números en (iv) están en orden creciente pero no siguen ninguna regla.
El conjunto de números en (i) y (ii) se llama secuencia. Una secuencia es un conjunto de números especificados en un orden definido por alguna regla o ley asignada. Cada elemento del conjunto se llama término. Una secuencia puede ser finita o infinita. Una sucesión finita es la que termina y tiene el último término. Por ejemplo, 3, 9, 81, 6561 es una secuencia finita. Una sucesión infinita es aquella que no tiene un último término. Por ejemplo, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12,... Usualmente usamos '...' para indicar que la secuencia continúa sin límite.
Una serie se define como la suma de los términos de una sucesión. Por ejemplo, las series para la secuencia dada en (i) y (ii) son
(yo) 2 + 5 + 8 + 11 +...
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 +...
Una sucesión en la que su término crece o decrece continuamente en el mismo número se llama progresión aritmética. El número fijo por el cual aumentan o disminuyen se llama diferencia común de la progresión aritmética.
Por ejemplo, 121,131,141,151
Puedes ver que la diferencia entre términos consecutivos es igual a 10 (131-121, 141-131, 151-141), es decir, diferencia común = 10. Así que este conjunto de números forma una progresión aritmética.
Si el primer término de un la progresión aritmética es 'a' y la diferencia común es 'd'. La secuencia que forma un AP es:
a, (a + d), (a + 2d), …
Hallar el término n de una progresión aritmética
T n es el n -ésimo término de una progresión aritmética, entonces
| T norte = un + (norte - 1) re |
aquí a es el primer término, d es la diferencia común y n es el número de términos. Además, la diferencia común d se puede derivar usando la siguiente fórmula
| re = T norte - T norte-1 |
Intentemos resolver algunas preguntas.
Pregunta 1: ¿La secuencia 102, 120, 130, 148 forma un AP?
Solución: Diferencia entre los términos: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
como la diferencia entre términos consecutivos no es igual, por lo tanto, no forma una progresión aritmética
Pregunta 2: Escribe los primeros cuatro términos de la progresión aritmética cuyo primer término es 6 y la diferencia común es 4.
Solución: Como T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Por lo tanto, los primeros cuatro términos son 6, 10, 14, 18
Pregunta 3: ¿Cuántos números de dos dígitos son divisibles por 4?
Solución: Números de dos dígitos divisibles por 4 son 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒n = 22
La suma S de los primeros n números de una progresión aritmética viene dada por la fórmula:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
O
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Aquí S es la suma de los primeros n números, d es la diferencia, a es el primer término y l es el último término.
Pregunta: Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la progresión aritmética 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Respuesta: La suma de los primeros 10 términos es 155
