مجموعه اعداد زیر را در نظر بگیرید:
(i) 2، 5، 8، 11، …
(II) 2، 4، 8، 16، …
(iii) 1، 5، 3، 7، …
(IV) 3، 12، 43، 50، …
آیا توجه کرده اید که اصطلاحات (i) و (ii) به ترتیب خاصی و طبق یک قاعده مشخص تنظیم شده اند ، یعنی
(i) عبارت‌ها به ترتیب افزایشی هستند و هر عبارت بعدی با افزودن 3 به عبارت قبلی به دست می‌آید.
(ii) عبارت ها به ترتیب افزایشی هستند و هر جمله بعدی با ضرب عبارت قبلی در 2 به دست می آید.
مجموعه اعداد داده شده در (iii) از هیچ نظم یا قاعده ای پیروی نمی کند و اعداد تنظیم شده در (iv) به ترتیب افزایشی هستند اما از هیچ قانونی پیروی نمی کنند.
مجموعه اعداد (i) و (ii) را دنباله می گویند. دنباله مجموعه ای از اعداد است که به ترتیب معینی توسط قانون یا قانون تعیین شده مشخص شده اند. هر عنصر مجموعه را اصطلاح می گویند. یک دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. دنباله متناهی آن چیزی است که پایان می یابد و جمله آخر دارد. به عنوان مثال 3، 9، 81، 6561 دنباله محدود است. دنباله نامتناهی دنباله ای است که آخرین جمله ندارد. به عنوان مثال، 30، 24، 18، 12، 6، 0، -6، -12، ... ما معمولاً از "..." استفاده می کنیم تا مشخص کنیم که دنباله بدون کران ادامه می یابد.
یک سری به عنوان مجموع عبارات یک دنباله تعریف می شود. به عنوان مثال، سری برای دنباله داده شده در (i) و (ii) هستند
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
دنباله ای که در آن عبارت آن به طور مداوم به همان عدد کم یا زیاد می شود، پیشرفت حسابی نامیده می شود. عدد ثابتی که به وسیله آن افزایش یا کاهش می یابد، اختلاف مشترک پیشروی حسابی نامیده می شود.
به عنوان مثال، 121،131،141،151
می بینید که تفاوت بین عبارت های متوالی برابر با 10 است (131-121، 141-131، 151-141)، یعنی تفاوت مشترک = 10. بنابراین این مجموعه اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهد.
اگر اولین ترم یک پیشرفت حسابی "a" است و تفاوت مشترک "d" است. دنباله ای که یک AP را تشکیل می دهد:
a، (a + d)، (a + 2d)، …
یافتن n ترم یک پیشرفت حسابی
T n ترم n یک پیشرفت حسابی باشد
| T n = a + (n - 1)d |
در اینجا a اولین جمله، d تفاوت مشترک و n تعداد عبارت است. همچنین تفاوت مشترک d را می توان با استفاده از فرمول زیر بدست آورد
| d = T n - T n-1 |
بیایید سعی کنیم چند سوال را حل کنیم
سوال 1: آیا دنباله 102، 120، 130، 148 یک AP را تشکیل می دهد؟
راه حل: تفاوت بین اصطلاحات: 120 -102 = 18، 130 -120 = 10، 148 - 130 = 18
از آنجایی که تفاوت بین عبارت های متوالی برابر نیست، بنابراین یک پیشرفت حسابی تشکیل نمی دهد
سوال 2: چهار جمله اول پیشروی حسابی را بنویسید که جمله اول آن 6 و اختلاف مشترک آن 4 است.
راه حل: به عنوان T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
بنابراین، چهار جمله اول 6، 10، 14، 18 هستند
سوال 3: چند عدد دو رقمی بر 4 بخش پذیرند؟
راه حل: اعداد دو رقمی تقسیم بر 4 عبارتند از 12، 16، ...، 96.
a = 12، d = 4، T n = 96، n =؟
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
مجموع S n عدد اول یک پیشروی حسابی با فرمول به دست می آید:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
یا
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
در اینجا S مجموع n عدد اول، d تفاوت، a اولین جمله و l جمله آخر است.
سوال: مجموع 10 جمله اول پیشروی حسابی 2، 5، 8، 11، …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
پاسخ: مجموع 10 جمله اول 155 است
