Considérez l'ensemble de nombres suivant :
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Avez-vous remarqué que les termes en (i) et (ii) sont disposés dans un ordre spécifique et selon une règle définie , c'est-à-dire,
(i) Les termes sont dans l'ordre croissant et chaque terme suivant est obtenu en ajoutant 3 au terme précédent.
(ii) Les termes sont dans l'ordre croissant et chaque terme suivant est obtenu en multipliant le terme précédent par 2.
L'ensemble de nombres donné en (iii) ne suit aucun ordre ou règle et l'ensemble de nombres en (iv) est dans l'ordre croissant mais ne suit aucune règle.
L'ensemble des nombres dans (i) et (ii) est appelé séquence. Une séquence est un ensemble de nombres spécifiés dans un ordre défini par une règle ou une loi assignée. Chaque élément de l'ensemble est appelé un terme. Une suite peut être finie ou infinie. Une suite finie est celle qui se termine et a le dernier terme. Par exemple 3, 9, 81, 6561 est une suite finie. Une suite infinie est celle qui n'a pas de dernier terme. Par exemple, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Nous utilisons généralement '…' pour indiquer que la séquence continue sans limite.
Une série est définie comme la somme des termes d'une suite. Par exemple, les séries pour la séquence donnée en (i) et (ii) sont
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Une séquence dans laquelle son terme augmente ou diminue continuellement du même nombre est appelée une progression arithmétique. Le nombre fixe dont elles augmentent ou diminuent s'appelle la différence commune de la progression arithmétique.
Par exemple, 121,131,141,151
Vous pouvez voir que la différence entre les termes consécutifs est égale à 10 (131-121, 141-131, 151-141), c'est-à-dire la différence commune = 10. Cet ensemble de nombres forme donc une progression arithmétique.
Si le premier terme d'un la progression arithmétique est 'a' et la différence commune est 'd'. La séquence formant un AP est :
a, (a + d), (a + 2d), …
Trouver le n ième terme d'une suite arithmétique
T n soit le n ième terme d'une progression arithmétique alors
| T n = une + (n − 1)d |
ici a est le premier terme, d est la différence commune et n est le nombre de termes. De plus, la différence commune d peut être dérivée en utilisant la formule ci-dessous
| ré = T n - T n-1 |
Essayons de résoudre quelques questions
Question 1 : La séquence 102, 120, 130, 148 forme-t-elle un AP ?
Solution : Différence entre les termes : 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
comme la différence entre les termes consécutifs n'est pas égale, il ne forme donc pas une progression arithmétique
Question 2 : Écrivez les quatre premiers termes de la progression arithmétique dont le premier terme est 6 et la différence commune est 4.
Solution : Comme T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Par conséquent, les quatre premiers termes sont 6, 10, 14, 18
Question 3 : Combien de nombres à deux chiffres sont divisibles par 4 ?
Solution : Les nombres à deux chiffres divisibles par 4 sont 12, 16, ..., 96
une = 12, ré = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
La somme S des n premiers nombres d'une progression arithmétique est donnée par la formule :
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
OU
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Ici S est la somme des n premiers nombres, d est la différence, a est le premier terme et l est le dernier terme.
Question : Trouver la somme des 10 premiers termes de la progression arithmétique 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Réponse : La somme des 10 premiers termes est 155
