संख्याओं के निम्नलिखित सेट पर विचार करें:
(i) 2, 5, 8, 11,…
(ii) 2, 4, 8, 16,…
(iii) 1, 5, 3, 7,…
(iv) 3, 12, 43, 50,…
क्या आपने देखा कि (i) और (ii) में पदों को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित किया गया है और एक निश्चित नियम के अनुसार , अर्थात्,
(i) पद बढ़ते क्रम में हैं और प्रत्येक अनुवर्ती पद पिछले पद में 3 जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
(ii) पद बढ़ते क्रम में हैं और प्रत्येक अनुवर्ती पद पिछले पद को 2 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
(iii) में दी गई संख्या किसी भी क्रम या नियम का पालन नहीं करती है और (iv) में सेट संख्या बढ़ते क्रम में है लेकिन किसी नियम का पालन नहीं करती है।
(i) और (ii) में संख्याओं के समुच्चय को अनुक्रम कहा जाता है। एक अनुक्रम कुछ नियत नियम या कानून द्वारा एक निश्चित क्रम में निर्दिष्ट संख्याओं का एक समूह है। समुच्चय के प्रत्येक अवयव को पद कहते हैं। एक क्रम परिमित या अनंत हो सकता है। एक परिमित अनुक्रम वह है जो समाप्त होता है और जिसका अंतिम पद होता है। उदाहरण के लिए 3, 9, 81, 6561 परिमित अनुक्रम है। अनंत अनुक्रम वह है जिसका कोई अंतिम पद नहीं है। उदाहरण के लिए, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, ... हम आमतौर पर '...' का उपयोग यह दर्शाने के लिए करते हैं कि अनुक्रम बिना किसी सीमा के जारी है।
एक श्रृंखला को अनुक्रम की शर्तों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, (i) और (ii) में दिए गए अनुक्रम के लिए श्रृंखला हैं
(i) 2 + 5 + 8 + 11 +…
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 +…
वह क्रम जिसमें उसके पद में समान संख्या से लगातार वृद्धि या कमी होती है, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। वह निश्चित संख्या जिससे वे बढ़ते या घटते हैं, अंकगणितीय प्रगति का सार्व अंतर कहलाती है।
उदाहरण के लिए, 121,131,141,151
आप देख सकते हैं कि लगातार पदों के बीच का अंतर 10(131-121, 141-131, 151-141) के बराबर है, यानी सामान्य अंतर = 10. तो संख्याओं का यह सेट एक अंकगणितीय प्रगति बनाता है।
यदि an . का प्रथम पद समांतर श्रेणी 'a' है और सार्व अंतर 'd' है। AP बनाने का क्रम है:
ए, (ए + डी), (ए + 2 डी), ...
एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद ज्ञात करना
T n समांतर श्रेणी का n वाँ पद हो तो
| टी एन = ए + (एन -1)डी |
यहाँ a पहला पद है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है। साथ ही, सामान्य अंतर d को नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:
| डी = टी एन - टी एन-1 |
आइए कुछ प्रश्नों को हल करने का प्रयास करें
प्रश्न 1: क्या अनुक्रम 102, 120, 130, 148 एक AP बनाता है?
हल: पदों में अंतर: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है इसलिए यह एक समान्तर श्रेणी नहीं बनाता है
प्रश्न 2: समांतर श्रेणी के पहले चार पद लिखिए जिनका पहला पद 6 है और सार्व अंतर 4 है।
हल: जैसा कि टी 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
इसलिए, पहले चार पद 6, 10, 14, 18 . हैं
प्रश्न 3: दो अंकों की कितनी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं?
हल: 4 से विभाज्य दो अंकों की संख्याएँ 12, 16, ..., 96 . हैं
ए = 12, डी = 4, टी एन = 96, एन =?
96 = 12 + (एन - 1) 4
4एन - 4 + 12 = 96
4एन + 8 = 96
4एन = 88 एन = 22
अंकगणितीय प्रगति की पहली n संख्याओं का योग S सूत्र द्वारा दिया गया है:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
या
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
यहाँ S प्रथम n संख्याओं का योग है, d अंतर है, a पहला पद है और l अंतिम पद है।
प्रश्न: समांतर श्रेणी 2, 5, 8, 11,… के पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
उत्तर: प्रथम 10 पदों का योग 155 . है
