Razmotrite sljedeći skup brojeva:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Jeste li primijetili da su pojmovi u (i) i (ii) raspoređeni određenim redoslijedom i prema određenom pravilu , tj.
(i) Izrazi su u rastućem redoslijedu, a svaki naredni član dobiva se dodavanjem 3 prethodnom članu.
(ii) Izrazi su u rastućem redoslijedu i svaki naredni izraz se dobiva množenjem prethodnog člana s 2.
Skup brojeva dat u (iii) ne slijedi nikakav redoslijed ili pravilo, a broj skup u (iv) je u rastućem redoslijedu, ali ne slijedi nikakvo pravilo.
Skup brojeva u (i) i (ii) naziva se niz. Niz je skup brojeva specificiranih određenim redoslijedom nekim dodijeljenim pravilom ili zakonom. Svaki element skupa naziva se pojam. Niz može biti konačan ili beskonačan. Konačan niz je onaj koji završava i ima posljednji član. Na primjer, 3, 9, 81, 6561 je konačan niz. Beskonačan niz je onaj koji nema zadnji član. Na primjer, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Obično koristimo '…' da označimo da se niz nastavlja bez granica.
Niz se definira kao zbroj članova niza. Na primjer, nizovi za niz dat u (i) i (ii) su
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Niz u kojem se njegov član neprestano povećava ili smanjuje za isti broj naziva se aritmetička progresija. Fiksni broj za koji se povećavaju ili smanjuju naziva se zajednička razlika aritmetičke progresije.
Na primjer, 121,131,141,151
Možete vidjeti da je razlika između uzastopnih članova jednaka 10(131-121, 141-131, 151-141), tj. zajednička razlika = 10. Dakle, ovaj skup brojeva čini aritmetičku progresiju.
Ako je prvi termin an aritmetička progresija je 'a', a uobičajena razlika je 'd'. Niz koji formira AP je:
a, (a + d), (a + 2d), …
Određivanje n -tog člana aritmetičke progresije
Tada je T n n -ti član aritmetičke progresije
| T n = a + (n − 1)d |
ovdje je a prvi član, d je zajednička razlika i n je broj članova. Također, zajednička razlika d može se izvesti pomoću donje formule
| d = T n − T n-1 |
Pokušajmo riješiti nekoliko pitanja
Pitanje 1: Je li niz 102, 120, 130, 148 AP?
Rješenje: Razlika članova: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
budući da razlika između uzastopnih članova nije jednaka, stoga ne čini aritmetičku progresiju
2. pitanje: Napiši prva četiri člana aritmetičke progresije čiji je prvi član 6, a zajednička razlika 4.
Rješenje: Kako je T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Prema tome, prva četiri člana su 6, 10, 14, 18
Pitanje 3: Koliko je dvoznamenkastih brojeva djeljivo s 4?
Rješenje: Dvoznamenkasti brojevi djeljivi sa 4 su 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Zbroj S prvih n brojeva aritmetičke progresije dan je formulom:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
ILI
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Ovdje je S zbroj prvih n brojeva, d je razlika, a je prvi član, a l je posljednji član.
Pitanje: Nađite zbroj prvih 10 članova aritmetičke progresije 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Odgovor: Zbroj prvih 10 članova je 155
