Pertimbangkan rangkaian angka berikut:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Apakah Anda memperhatikan bahwa istilah dalam (i) dan (ii) disusun dalam urutan tertentu dan menurut aturan yang pasti , yaitu,
(i) Suku-suku dalam urutan menaik dan setiap suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 3 pada suku sebelumnya.
(ii) Suku-suku dalam urutan menaik dan setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2.
Himpunan bilangan yang diberikan dalam (iii) tidak mengikuti urutan atau aturan apa pun dan bilangan yang ditetapkan dalam (iv) dalam urutan meningkat tetapi tidak mengikuti aturan apa pun.
Himpunan bilangan pada (i) dan (ii) disebut barisan. Urutan adalah seperangkat angka yang ditentukan dalam urutan tertentu oleh beberapa aturan atau hukum yang ditetapkan. Setiap elemen dari himpunan disebut istilah. Urutan dapat terbatas atau tidak terbatas. Barisan berhingga adalah yang berakhir dan memiliki suku terakhir. Misalnya 3, 9, 81, 6561 adalah barisan berhingga. Barisan tak terhingga adalah barisan yang tidak memiliki suku terakhir. Sebagai contoh, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Kita biasanya menggunakan '…' untuk menyatakan bahwa barisan berlanjut tanpa batas.
Deret didefinisikan sebagai jumlah suku-suku suatu barisan. Sebagai contoh, deret untuk barisan yang diberikan pada (i) dan (ii) adalah
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Barisan yang sukunya terus menerus bertambah atau berkurang dengan bilangan yang sama disebut barisan aritmetika. Angka tetap yang dengannya mereka bertambah atau berkurang disebut selisih umum dari perkembangan aritmatika.
Misalnya, 121.131.141.151
Anda dapat melihat selisih suku-suku yang berurutan sama dengan 10(131-121, 141-131, 151-141), yaitu selisih persekutuan = 10. Jadi himpunan bilangan ini membentuk deret aritmatika.
Jika suku pertama dari suatu perkembangan aritmatika adalah 'a' dan perbedaan umum adalah 'd'. Urutan membentuk AP adalah:
a, (a + d), (a + 2d), …
Mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika
Maka jadilah suku ke- n dari barisan aritmetika
| T n = a + (n − 1)d |
di sini a adalah suku pertama, d adalah beda umum dan n adalah banyaknya suku. Juga, beda umum d dapat diturunkan dengan menggunakan rumus di bawah ini
| d = T n − T n-1 |
Mari kita coba memecahkan beberapa pertanyaan
Pertanyaan 1: Apakah barisan 102, 120, 130, 148 merupakan AP?
Solusi: Selisih antara suku: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
karena selisih suku-suku yang berurutan tidak sama sehingga tidak membentuk barisan aritmetika
Soal 2: Tuliskan empat suku pertama deret aritmetika yang suku pertamanya 6 dan beda persekutuannya 4.
Solusi: Karena T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Jadi, empat suku pertamanya adalah 6, 10, 14, 18
Pertanyaan 3: Berapa banyak bilangan dua digit yang habis dibagi 4?
Solusi: Dua digit bilangan yang habis dibagi 4 adalah 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Jumlah S dari n bilangan pertama dari deret aritmatika diberikan oleh rumus:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
ATAU
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Di sini S adalah jumlah dari n bilangan pertama, d adalah selisihnya, a adalah suku pertama dan l adalah suku terakhir.
Soal: Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret aritmetika 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Jawab: Jumlah 10 suku pertama adalah 155
