Considera il seguente insieme di numeri:
(io) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Hai notato che i termini in (i) e (ii) sono disposti in un ordine specifico e secondo una regola definita , ovvero,
(i) I termini sono in ordine crescente e ogni termine successivo si ottiene aggiungendo 3 al termine precedente.
(ii) I termini sono in ordine crescente e ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il termine precedente per 2.
Il numero impostato in (iii) non segue alcun ordine o regola e il numero impostato in (iv) è in ordine crescente ma non segue alcuna regola.
L'insieme di numeri in (i) e (ii) è chiamato sequenza. Una sequenza è un insieme di numeri specificati in un ordine definito da qualche regola o legge assegnata. Ogni elemento dell'insieme è chiamato termine. Una sequenza può essere finita o infinita. Una sequenza finita è quella che termina e ha l'ultimo termine. Ad esempio 3, 9, 81, 6561 è una sequenza finita. Una sequenza infinita è quella che non ha termine ultimo. Ad esempio, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Di solito usiamo '…' per indicare che la sequenza continua senza limiti.
Una serie è definita come la somma dei termini di una successione. Ad esempio, le serie per la sequenza data in (i) e (ii) sono
(io) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Una sequenza in cui il suo termine aumenta o diminuisce continuamente dello stesso numero è chiamata progressione aritmetica. Il numero fisso di cui aumentano o diminuiscono è chiamato la differenza comune della progressione aritmetica.
Ad esempio, 121.131.141.151
Puoi vedere che la differenza tra termini consecutivi è uguale a 10(131-121, 141-131, 151-141), cioè differenza comune = 10. Quindi questo insieme di numeri forma una progressione aritmetica.
Se il primo termine di an la progressione aritmetica è 'a' e la differenza comune è 'd'. La sequenza che forma un AP è:
a, (a + d), (a + 2d), …
Trovare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica
T n sia allora l' ennesimo termine di una progressione aritmetica
| T n = un + (n - 1)d |
dove a è il primo termine, d è la differenza comune e n è il numero di termini. Inoltre, la differenza comune d può essere derivata utilizzando la formula seguente
| d = T n - T n-1 |
Proviamo a risolvere alcune domande
Domanda 1: La sequenza 102, 120, 130, 148 forma un AP?
Soluzione: Differenza tra i termini: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
poiché la differenza tra termini consecutivi non è uguale, quindi non forma una progressione aritmetica
Domanda 2: Scrivi i primi quattro termini della progressione aritmetica il cui primo termine è 6 e la differenza comune è 4.
Soluzione: Come T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Pertanto, i primi quattro termini sono 6, 10, 14, 18
Domanda 3: Quanti numeri di due cifre sono divisibili per 4?
Soluzione: i numeri a due cifre divisibili per 4 sono 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
La somma S dei primi n numeri di una progressione aritmetica è data dalla formula:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
O
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Qui S è la somma dei primi n numeri, d è la differenza, a è il primo termine e l è l'ultimo termine.
Domanda: Trova la somma dei primi 10 termini della progressione aritmetica 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Risposta: La somma dei primi 10 termini è 155
