次の一連の数値を考えてみましょう。
(i) 2、5、8、11、…
(ii) 2、4、8、16、…
(iii) 1、5、3、7、…
(iv) 3、12、43、50、…
(i) と (ii) の用語が特定の順序で、明確な規則に従って配置されていることに気付きましたか?
(i) 用語は昇順であり、後続の各用語は、前の用語に 3 を追加することによって得られます。
(ii) 用語は昇順であり、後続の各用語は前の用語に 2 を掛けて得られます。
(iii) で指定された数値セットは順序や規則には従わず、(iv) で設定された数値は昇順ですが、規則には従いません。
(i) と (ii) の数の集合を数列と呼びます。シーケンスは、割り当てられた規則または法律によって明確な順序で指定された一連の数字です。セットの各要素は用語と呼ばれます。シーケンスは、有限または無限にすることができます。有限数列とは、終了して最後の項を持つものです。たとえば、3、9、81、6561 は有限数列です。無限数列とは、最後の項がないものです。たとえば、30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … 通常、シーケンスが際限なく続くことを示すために「…」を使用します。
シリーズは、シーケンスの項の合計として定義されます。たとえば、(i) と (ii) で与えられたシーケンスのシリーズは、
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
項が同じ数だけ増加または減少し続ける数列を等差数列と呼びます。それらが増加または減少する固定数は、等差数列の公差と呼ばれます。
たとえば、121,131,141,151
連続する項の差は 10(131-121, 141-131, 151-141)、つまり公差 = 10 であることがわかります。したがって、この数のセットは等差数列を形成します。
の最初の項の場合 等差数列は「a」で、公差は「d」です。 AP を形成するシーケンスは次のとおりです。
a、(a + d)、(a + 2d)、…
等差数列の n番目の項を見つける
T n が等差数列の n番目の項である場合、
| T n = a + (n − 1)d |
ここで、a は最初の項、d は公差、n は項の数です。また、公差 d は、次の式を使用して導出できます。
| d = T n − T n-1 |
いくつかの問題を解いてみましょう
質問 1:シーケンス 102、120、130、148 は AP を形成しますか?
解決策: 用語の違い: 120 -102 = 18、130 -120 = 10、148 - 130 = 18
連続する項の差は等しくないため、等差数列を形成しません。
問題 2:等差数列の最初の項が 6 で、公差が 4 である最初の 4 つの項を書きなさい。
解決策: T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10 として
したがって、最初の 4 つの項は 6、10、14、18 です。
問題 3: 4 で割り切れる 2 桁の数はいくつ?
解決策: 4 で割り切れる 2 桁の数は、12、16、...、96 です。
a = 12、d = 4、T n = 96、n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
等差数列の最初の n 個の数の合計 S は、次の式で与えられます。
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
また
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
ここで、S は最初の n 個の数の合計、d は差、a は最初の項、l は最後の項です。
問題:等差数列 2, 5, 8, 11, … の最初の 10 項の和を求めてください。
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
答え: 最初の 10 項の合計は 155 です
