Размислете за следново збир на броеви:
(з) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16,…
(iii) 1, 5, 3, 7,…
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Дали забележавте дека термините во (i) и (ii) се подредени по одреден редослед и според одредено правило , т.е.
(i) Термините се по растечки редослед и секој нареден член се добива со додавање 3 на претходниот член.
(ii) Условите се по зголемен ред и секој следен член се добива со множење на претходниот член со 2.
Множеството наведено во (iii) не следи никаков редослед или правило, а бројот што е поставен во (iv) се во растечки редослед, но не следи ниту едно правило.
Множеството броеви во (i) и (ii) се нарекуваат низа. Редоследот е збир на броеви определени во одреден редослед со некое доделено правило или закон. Секој елемент од множеството се нарекува поим. Низата може да биде конечна или бесконечна. Конечна низа е онаа што завршува и го има последниот член. На пример 3, 9, 81, 6561 е конечна низа. Бесконечна низа е онаа што нема последен член. На пример, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, ... Обично користиме „…“ за да означиме дека низата продолжува без ограничување.
Серијата е дефинирана како збир од термините на низата. На пример, сериите за низата дадени во (i) и (ii) се
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Низата во која нејзиниот термин постојано се зголемува или намалува за ист број се нарекува аритметичка прогресија. Фиксниот број со кој тие се зголемуваат или намалуваат се нарекува заедничка разлика на аритметичката прогресија.
На пример, 121.131.141.151
Може да се види разликата помеѓу последователните членови е еднаква на 10 (131-121, 141-131, 151-141), т.е. заедничка разлика = 10. Значи, овој сет на броеви формира аритметичка прогресија.
Ако првиот член на ан аритметичката прогресија е 'a', а заедничката разлика е 'd'. Редоследот што формира АП е:
a, (a + d), (a + 2d), ...
Наоѓање на n -ти член на аритметичка прогресија
T n да биде n -тиот член на аритметичка прогресија тогаш
| T n = a + (n − 1)d |
овде a е првиот член, d е заедничката разлика и n е бројот на членовите. Исто така, заедничката разлика d може да се изведе со користење на формулата подолу
| d = T n − T n-1 |
Ајде да се обидеме да решиме неколку прашања
Прашање 1: Дали низата 102, 120, 130, 148 формира АП?
Решение: Разлика помеѓу поимите: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
бидејќи разликата помеѓу последователните членови не е еднаква, затоа не формира аритметичка прогресија
Прашање 2: Запишете ги првите четири члена од аритметичката прогресија чиј прв член е 6, а заедничка разлика 4.
Решение: како T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Според тоа, првите четири члена се 6, 10, 14, 18
Прашање 3: Колку двоцифрени броеви се деливи со 4?
Решение: Двоцифрени броеви деливи со 4 се 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Збирот S од првите n броеви на аритметичка прогресија е даден со формулата:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
ИЛИ
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Овде S е збирот на првите n броеви, d е разликата, a е првиот член и l е последниот член.
Прашање: Најдете го збирот на првите 10 членови од аритметичката прогресија 2, 5, 8, 11, ...
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Одговор: Збирот на првите 10 члена е 155
