निम्न संख्याहरूको सेटलाई विचार गर्नुहोस्:
(i) २, ५, ८, ११,…
(ii) २, ४, ८, १६,…
(iii) १, ५, ३, ७,…
(iv) ३, १२, ४३, ५०, …
के तपाईंले याद गर्नुभयो कि (i) र (ii) मा सर्तहरू एक निश्चित क्रममा र एक निश्चित नियम अनुसार व्यवस्थित छन् , त्यो हो,
(i) सर्तहरू बढ्दो क्रममा छन् र प्रत्येक पछिको पद अघिल्लो अवधिमा 3 थपेर प्राप्त गरिन्छ।
(ii) सर्तहरू बढ्दो क्रममा छन् र प्रत्येक पछिको पदलाई अघिल्लो पदलाई 2 ले गुणन गरेर प्राप्त गरिन्छ।
(iii) मा दिइएको संख्याले कुनै पनि क्रम वा नियमलाई पालना गर्दैन र (iv) मा सेट गरिएका संख्याहरू बढ्दो क्रममा छन् तर कुनै नियमको पालना गर्दैनन्।
(i) र (ii) मा संख्याहरूको सेटलाई क्रम भनिन्छ। अनुक्रम भनेको कुनै तोकिएको नियम वा कानूनद्वारा निश्चित क्रममा निर्दिष्ट गरिएका संख्याहरूको सेट हो। सेटको प्रत्येक तत्वलाई पद भनिन्छ। अनुक्रम परिमित वा अनन्त हुन सक्छ। एक सीमित अनुक्रम त्यो हो जुन समाप्त हुन्छ र अन्तिम पद हुन्छ। उदाहरण को लागी 3, 9, 81, 6561 परिमित अनुक्रम हो। एक अनन्त अनुक्रम एक हो जसको कुनै अन्तिम पद छैन। उदाहरणका लागि, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … हामी सामान्यतया '...' प्रयोग गर्छौं कि क्रम बिना सीमा जारी रहन्छ।
श्रृङ्खलालाई अनुक्रमका सर्तहरूको योगफलको रूपमा परिभाषित गरिएको छ। उदाहरणका लागि, (i) र (ii) मा दिइएको अनुक्रमका लागि श्रृंखलाहरू छन्
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
एक अनुक्रम जसमा यसको अवधि लगातार समान संख्याले बढ्छ वा घट्छ, एक अंकगणित प्रगति भनिन्छ। तिनीहरूले वृद्धि वा घटाउने निश्चित संख्यालाई अंकगणितीय प्रगतिको सामान्य भिन्नता भनिन्छ।
उदाहरणका लागि, १२१,१३१,१४१,१५१
तपाईले क्रमबद्ध पदहरू बीचको भिन्नता 10 (131-121, 141-131, 151-141) को बराबर भएको देख्न सक्नुहुन्छ, अर्थात् सामान्य भिन्नता = 10। त्यसैले संख्याहरूको यो सेटले अंकगणितीय प्रगति बनाउँछ।
यदि एक को पहिलो कार्यकाल अंकगणितीय प्रगति 'a' हो र सामान्य भिन्नता 'd' हो। एपी बनाउने अनुक्रम हो:
a, (a + d), (a + 2d), …
अंकगणितीय प्रगतिको n औं पद खोज्दै
तब अंकगणितीय प्रगतिको n औं पद हो
| T n = a + (n − 1)d |
यहाँ a पहिलो पद हो, d सामान्य भिन्नता हो र n पदहरूको संख्या हो। साथै, सामान्य भिन्नता d तलको सूत्र प्रयोग गरेर निकाल्न सकिन्छ
| d = T n − T n-1 |
केही प्रश्नहरू समाधान गर्ने प्रयास गरौं
प्रश्न 1: के अनुक्रम 102, 120, 130, 148 ले AP बनाउँछ?
समाधान: सर्तहरू बीचको भिन्नता: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
लगातार पदहरू बीचको भिन्नता बराबर नभएकाले यसले अंकगणितीय प्रगति बनाउँदैन
प्रश्न २: अंकगणित प्रगतिका पहिलो चार पदहरू लेख्नुहोस् जसको पहिलो पद ६ र सामान्य भिन्नता ४ हो।
समाधान: T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10 को रूपमा
त्यसकारण, पहिलो चार पदहरू 6, 10, 14, 18 हुन्
प्रश्न 3: कतिवटा दुई अंकको संख्यालाई 4 ले भाग गर्न सकिन्छ?
समाधान: 4 द्वारा भाग गर्न सकिने दुई अंक संख्याहरू 12, 16, ..., 96 हुन्
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
९६ = १२ + (n - १) ४
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
अंकगणितीय प्रगतिको पहिलो n संख्याहरूको योगफल सूत्रद्वारा दिइएको छ:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
वा
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
यहाँ S पहिलो n संख्याहरूको योग हो, d भिन्नता हो, a पहिलो पद हो र l अन्तिम पद हो।
प्रश्न: अंकगणित प्रगति 2, 5, 8, 11, … को पहिलो 10 पदहरूको योगफल पत्ता लगाउनुहोस्।
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
उत्तर: पहिलो 10 सर्तहरूको योग 155 हो
