Beschouw de volgende reeks getallen:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Is het u opgevallen dat de termen in (i) en (ii) in een specifieke volgorde en volgens een bepaalde regel zijn gerangschikt , dat wil zeggen:
(i) De termen staan in oplopende volgorde en elke volgende term wordt verkregen door 3 toe te voegen aan de voorgaande term.
(ii) De termen staan in oplopende volgorde en elke volgende term wordt verkregen door de voorgaande term met 2 te vermenigvuldigen.
Het aantal dat in (iii) wordt gegeven, volgt geen enkele volgorde of regel en het aantal dat in (iv) staat, staat in oplopende volgorde, maar volgt geen enkele regel.
De reeks getallen in (i) en (ii) wordt reeks genoemd. Een reeks is een reeks getallen die in een bepaalde volgorde is gespecificeerd door een bepaalde regel of wet. Elk element van de verzameling wordt een term genoemd. Een rij kan eindig of oneindig zijn. Een eindige reeks is die welke eindigt en de laatste term heeft. Bijvoorbeeld 3, 9, 81, 6561 is een eindige reeks. Een oneindige reeks is er een die geen laatste term heeft. Bijvoorbeeld 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, ... We gebruiken meestal '...' om aan te geven dat de reeks doorgaat zonder gebonden te zijn.
Een reeks wordt gedefinieerd als de som van de termen van een reeks. Bijvoorbeeld, de reeksen voor de reeks gegeven in (i) en (ii) zijn
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Een reeks waarin de term voortdurend met hetzelfde getal toeneemt of afneemt, wordt een rekenkundige progressie genoemd. Het vaste aantal waarmee ze toenemen of afnemen, wordt het gemeenschappelijke verschil van de rekenkundige progressie genoemd.
Bijvoorbeeld 121.131.141.151
Je kunt zien dat het verschil tussen opeenvolgende termen gelijk is aan 10(131-121, 141-131, 151-141), dwz gemeenschappelijk verschil = 10. Dus deze reeks getallen vormt een rekenkundige reeks.
Als de eerste termijn van een rekenkundige progressie is 'a' en het gemeenschappelijke verschil is 'd'. De reeks die een AP vormt is:
a, (a + d), (a + 2d), …
De nde term van een rekenkundige reeks vinden
T n de n de term van een rekenkundige reeks zijn dan
| T n = a + (n 1)d |
hier is a de eerste term, d is het gemeenschappelijke verschil en n is het aantal termen. Ook kan gemeenschappelijk verschil d worden afgeleid met behulp van de onderstaande formule:
| d = T n − T n-1 |
Laten we proberen een paar vragen op te lossen
Vraag 1: Vormt de reeks 102, 120, 130, 148 een AP?
Oplossing: Verschil tussen de termen: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
aangezien het verschil tussen opeenvolgende termen niet gelijk is, vormt het dus geen rekenkundige progressie
Vraag 2: Schrijf de eerste vier termen van de rekenkundige reeks waarvan de eerste term 6 is en het gemeenschappelijke verschil 4.
Oplossing: als T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Daarom zijn de eerste vier termen 6, 10, 14, 18
Vraag 3: Hoeveel getallen van twee cijfers zijn deelbaar door 4?
Oplossing: Tweecijferige getallen die deelbaar zijn door 4 zijn 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
De som S van de eerste n getallen van een rekenkundige reeks wordt gegeven door de formule:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
OF
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Hier is S de som van de eerste n getallen, d is het verschil, a is de eerste term en l is de laatste term.
Vraag: Vind de som van de eerste 10 termen van de rekenkundige reeks 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Antwoord: De som van de eerste 10 termen is 155
