Rozważ następujący zestaw liczb:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Czy zauważyłeś, że terminy w (i) i (ii) są ułożone w określonej kolejności i zgodnie z określoną regułą , to znaczy:
(i) wyrazy są ułożone rosnąco, a każdy kolejny wyraz uzyskuje się przez dodanie 3 do poprzedniego wyrazu.
(ii) wyrazy są ułożone w porządku rosnącym, a każdy kolejny wyraz otrzymuje się przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez 2.
Numery podane w punkcie (iii) nie są zgodne z żadną kolejnością ani regułą, a numery podane w punkcie (iv) są uporządkowane rosnąco, ale nie są zgodne z żadną regułą.
Zbiór liczb w (i) i (ii) nazywa się ciągiem. Sekwencja to zestaw liczb określonych w określonej kolejności przez przypisaną regułę lub prawo. Każdy element zbioru nazywany jest terminem. Sekwencja może być skończona lub nieskończona. Sekwencja skończona to taka, która się kończy i ma ostatni wyraz. Na przykład 3, 9, 81, 6561 to skończona sekwencja. Ciąg nieskończony to taki, który nie ma ostatniego wyrazu. Na przykład 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Zwykle używamy „…”, aby zaznaczyć, że ciąg jest kontynuowany bez ograniczeń.
Szereg definiuje się jako sumę wyrazów ciągu. Na przykład serie dla sekwencji podanej w (i) i (ii) to
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Sekwencja, w której jej wyraz stale rośnie lub maleje o tę samą liczbę, nazywana jest postępem arytmetycznym. Ustalona liczba, o którą zwiększają się lub zmniejszają, nazywana jest wspólną różnicą postępu arytmetycznego.
Na przykład 121131141151
Widać, że różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 10(131-121, 141-131, 151-141), czyli wspólna różnica = 10. Zatem ten zbiór liczb tworzy ciąg arytmetyczny.
Jeśli pierwszy wyraz a postęp arytmetyczny to „a”, a wspólna różnica to „d”. Sekwencja tworząca AP to:
za, (a + d), (a + 2d), …
Znajdowanie n- tego wyrazu ciągu arytmetycznego
T n będzie zatem n- tym wyrazem ciągu arytmetycznego
| T n = za + (n - 1) re |
tutaj a to pierwszy wyraz, d to wspólna różnica, a n to liczba wyrazów. Również wspólną różnicę d można wyprowadzić za pomocą poniższego wzoru
| re = T n - T n-1 |
Spróbujmy rozwiązać kilka pytań
Pytanie 1: Czy sekwencja 102, 120, 130, 148 tworzy AP?
Rozwiązanie: Różnica między wyrazami: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami nie jest równa, nie tworzy ciągu arytmetycznego
Pytanie 2: Zapisz pierwsze cztery wyrazy ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz to 6, a wspólna różnica to 4.
Rozwiązanie: Ponieważ T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Dlatego pierwsze cztery wyrazy to 6, 10, 14, 18
Pytanie 3: Ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 4?
Rozwiązanie: Liczby dwucyfrowe podzielne przez 4 to 12, 16, ..., 96
za = 12, re = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Suma S pierwszych n liczb ciągu arytmetycznego jest dana wzorem:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
LUB
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Tutaj S to suma pierwszych n liczb, d to różnica, a to pierwszy wyraz, a l to ostatni wyraz.
Pytanie: Znajdź sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu arytmetycznego 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Odpowiedź: Suma pierwszych 10 wyrazów wynosi 155
