Considere o seguinte conjunto de números:
(i) 2, 5, 8, 11, ...
(ii) 2, 4, 8, 16, ...
(iii) 1, 5, 3, 7, ...
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Você notou que os termos em (i) e (ii) estão dispostos em uma ordem específica e de acordo com uma regra definida , ou seja,
(i) Os termos estão em ordem crescente e cada termo sucessivo é obtido adicionando 3 ao termo anterior.
(ii) Os termos estão em ordem crescente e cada termo sucessivo é obtido pela multiplicação do termo anterior por 2.
O número definido em (iii) não segue nenhuma ordem ou regra e o número definido em (iv) está em ordem crescente, mas não segue nenhuma regra.
O conjunto de números em (i) e (ii) é chamado de sequência. Uma sequência é um conjunto de números especificados em uma ordem definida por alguma regra ou lei atribuída. Cada elemento do conjunto é chamado de termo. Uma sequência pode ser finita ou infinita. Uma sequência finita é aquela que termina e tem o último termo. Por exemplo 3, 9, 81, 6561 é uma sequência finita. Uma sequência infinita é aquela que não tem último termo. Por exemplo, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Geralmente usamos '…' para denotar que a sequência continua sem limite.
Uma série é definida como a soma dos termos de uma sequência. Por exemplo, as séries para a sequência dada em (i) e (ii) são
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Uma sequência em que seu termo aumenta ou diminui continuamente no mesmo número é chamada de progressão aritmética. O número fixo pelo qual eles aumentam ou diminuem é chamado de diferença comum da progressão aritmética.
Por exemplo, 121.131.141.151
Você pode ver que a diferença entre os termos consecutivos é igual a 10(131-121, 141-131, 151-141), ou seja, diferença comum = 10. Então esse conjunto de números forma uma progressão aritmética.
Se o primeiro termo de um progressão aritmética é 'a' e a diferença comum é 'd'. A sequência que forma um AP é:
a, (a + d), (a + 2d), ...
Encontrar o enésimo termo de uma progressão aritmética
T n seja o enésimo termo de uma progressão aritmética então
| T n = a + (n − 1)d |
aqui a é o primeiro termo, d é a diferença comum e n é o número de termos. Além disso, a diferença comum d pode ser derivada usando a fórmula abaixo
| d = T n − T n-1 |
Vamos tentar resolver algumas questões
Pergunta 1: A sequência 102, 120, 130, 148 forma um AP?
Solução: Diferença entre os termos: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
como a diferença entre os termos consecutivos não são iguais, portanto, não forma uma progressão aritmética
Questão 2: Escreva os primeiros quatro termos da progressão aritmética cujo primeiro termo é 6 e a diferença comum é 4.
Solução: Como T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Portanto, os primeiros quatro termos são 6, 10, 14, 18
Pergunta 3: Quantos números de dois algarismos são divisíveis por 4?
Solução: Números de dois dígitos divisíveis por 4 são 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
A soma S dos primeiros n números de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
OU
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Aqui S é a soma dos primeiros n números, d é a diferença, a é o primeiro termo e l é o último termo.
Pergunta: Encontre a soma dos 10 primeiros termos da progressão aritmética 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Resposta: A soma dos 10 primeiros termos é 155
