Рассмотрим следующий набор чисел:
(и) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Заметили ли вы, что термины в (i) и (ii) расположены в определенном порядке и по определенному правилу , то есть
(i) Члены расположены в порядке возрастания, и каждый последующий член получается прибавлением 3 к предыдущему члену.
(ii) Члены расположены в порядке возрастания, и каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на 2.
Набор чисел, указанный в (iii), не подчиняется никакому порядку или правилу, а набор чисел в (iv) находится в возрастающем порядке, но не подчиняется никакому правилу.
Набор чисел в (i) и (ii) называется последовательностью. Последовательность — это набор чисел, указанный в определенном порядке по какому-то заданному правилу или закону. Каждый элемент множества называется термом. Последовательность может быть конечной или бесконечной. Конечная последовательность — это та, которая заканчивается и имеет последний член. Например, 3, 9, 81, 6561 — конечная последовательность. Бесконечная последовательность — это последовательность, не имеющая последнего члена. Например, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Мы обычно используем «…» для обозначения того, что последовательность продолжается без ограничений.
Ряд определяется как сумма членов последовательности. Например, ряды для последовательности, приведенной в (i) и (ii), равны
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Последовательность, член которой постоянно увеличивается или уменьшается на одно и то же число, называется арифметической прогрессией. Фиксированное число, на которое они увеличиваются или уменьшаются, называется общей разностью арифметической прогрессии.
Например, 121 131 141 151
Вы можете видеть, что разница между последовательными членами равна 10 (131-121, 141-131, 151-141), т.е. общая разница = 10. Таким образом, этот набор чисел образует арифметическую прогрессию.
Если первый член арифметическая прогрессия — «а», а общая разность — «d». Последовательность формирования AP:
а, (а + г), (а + 2г), …
Нахождение n -го члена арифметической прогрессии
T n — n -й член арифметической прогрессии, тогда
| Т п = а + (п - 1)d |
здесь a — первое слагаемое, d — общая разность, n — количество слагаемых. Кроме того, общая разность d может быть получена с помощью приведенной ниже формулы
| d = Т н - Т н-1 |
Попробуем решить несколько вопросов
Вопрос 1: Является ли последовательность 102, 120, 130, 148 формой AP?
Решение: Разница между членами: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
поскольку разница между последовательными членами не равна, следовательно, она не образует арифметическую прогрессию
Вопрос 2: Напишите первые четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен 6, а обычная разность равна 4.
Решение: Поскольку Т 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Следовательно, первые четыре члена равны 6, 10, 14, 18.
Вопрос 3: Сколько двузначных чисел делятся на 4?
Решение: Двузначные числа, которые делятся на 4, это 12, 16, ..., 96.
а = 12, d = 4, Tn = 96, n = ?
96 = 12 + (п - 1) 4
4н - 4 + 12 = 96
4н + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Сумма S первых n чисел арифметической прогрессии находится по формуле:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
ИЛИ ЖЕ
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Здесь S — сумма первых n чисел, d — разность, a — первый член, а l — последний член.
Вопрос: Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Ответ: сумма первых 10 слагаемых равна 155.
