Merrni parasysh grupin e mëposhtëm të numrave:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
A e keni vënë re se termat në (i) dhe (ii) janë renditur në një rend të caktuar dhe sipas një rregulli të caktuar , d.m.th.
(i) Termat janë në rend rritës dhe çdo term pasardhës fitohet duke i shtuar 3 termit të mëparshëm.
(ii) Termat janë në rend rritës dhe çdo term pasardhës fitohet duke shumëzuar termin e mëparshëm me 2.
Numri i vendosur në (iii) nuk ndjek asnjë rend ose rregull dhe numri i vendosur në (iv) janë në rend rritës, por nuk ndjek asnjë rregull.
Bashkësia e numrave në (i) dhe (ii) quhet sekuencë. Një sekuencë është një grup numrash të specifikuar në një rend të caktuar nga një rregull ose ligj i caktuar. Çdo element i grupit quhet term. Një sekuencë mund të jetë e fundme ose e pafundme. Një sekuencë e fundme është ajo që mbaron dhe ka termin e fundit. Për shembull 3, 9, 81, 6561 është sekuencë e fundme. Një sekuencë e pafundme është ajo që nuk ka term të fundit. Për shembull, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Zakonisht përdorim '…' për të treguar se sekuenca vazhdon pa kufi.
Një seri përcaktohet si shuma e termave të një sekuence. Për shembull, seritë për sekuencën e dhënë në (i) dhe (ii) janë
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Një sekuencë në të cilën termi i tij rritet ose zvogëlohet vazhdimisht me të njëjtin numër quhet progresion aritmetik. Numri fiks me të cilin ato rriten ose zvogëlohen quhet diferencë e përbashkët e progresionit aritmetik.
Për shembull, 121,131,141,151
Ju mund të shihni se ndryshimi midis termave të njëpasnjëshëm është i barabartë me 10 (131-121, 141-131, 151-141), dmth diferenca e përbashkët = 10. Pra, ky grup numrash formon një progresion aritmetik.
Nëse mandati i parë i një Progresioni aritmetik është 'a' dhe ndryshimi i përbashkët është 'd'. Sekuenca që formon një AP është:
a, (a + d), (a + 2d), ...
Gjetja e termit të n -të të një progresion aritmetik
T n të jetë termi i n i një progresion aritmetik atëherë
| T n = a + (n − 1)d |
këtu a është termi i parë, d është ndryshimi i përbashkët dhe n është numri i termave. Gjithashtu, ndryshimi i përbashkët d mund të nxirret duke përdorur formulën e mëposhtme
| d = T n − T n-1 |
Le të përpiqemi të zgjidhim disa pyetje
Pyetja 1: A formon një AP sekuenca 102, 120, 130, 148?
Zgjidhje: Dallimi midis termave: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
pasi ndryshimi midis termave të njëpasnjëshëm nuk është i barabartë, prandaj nuk formon një progresion aritmetik
Pyetja 2: Shkruani katër termat e parë të progresionit aritmetik, termi i parë i të cilit është 6 dhe diferenca e përbashkët është 4.
Zgjidhje: Si T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Prandaj, katër termat e parë janë 6, 10, 14, 18
Pyetja 3: Sa numra dyshifrorë plotpjesëtohen me 4?
Zgjidhje: Numrat dyshifrorë të pjesëtueshëm me 4 janë 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Shuma S e n numrave të parë të një progresion aritmetik jepet me formulën:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
OSE
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Këtu S është shuma e n numrave të parë, d është diferenca, a është termi i parë dhe l është termi i fundit.
Pyetje: Gjeni shumën e 10 termave të parë të progresionit aritmetik 2, 5, 8, 11, ...
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Përgjigje: Shuma e 10 termave të parë është 155
