Tänk på följande uppsättning siffror:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Har du märkt att termerna i (i) och (ii) är ordnade i en specifik ordning och enligt en bestämd regel, dvs.
(i) Termerna är i ökande ordning och varje efterföljande term erhålls genom att lägga till 3 till föregående term.
(ii) Termerna är i ökande ordning och varje efterföljande term erhålls genom att multiplicera den föregående termen med 2.
Antalet som anges i (iii) följer inte någon ordning eller regel och antalet som anges i (iv) är i stigande ordning men följer inte någon regel.
Uppsättningen av siffror i (i) och (ii) kallas sekvens. En sekvens är en uppsättning nummer som anges i en bestämd ordning av någon tilldelad regel eller lag. Varje element i uppsättningen kallas en term. En sekvens kan vara ändlig eller oändlig. En finit sekvens är den som slutar och har den sista termen. Till exempel är 3, 9, 81, 6561 ändlig sekvens. En oändlig sekvens är en som inte har någon sista term. Till exempel, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Vi använder vanligtvis '...' för att ange att sekvensen fortsätter utan bunden.
En serie definieras som summan av termerna i en sekvens. Till exempel är serierna för sekvensen som ges i (i) och (ii).
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
En sekvens där dess term kontinuerligt ökar eller minskar med samma antal kallas en aritmetisk progression. Det fasta tal med vilket de ökar eller minskar kallas den gemensamma skillnaden i den aritmetiska progressionen.
Till exempel 121,131,141,151
Du kan se skillnaden mellan på varandra följande termer är lika med 10(131-121, 141-131, 151-141), dvs gemensam skillnad = 10. Så denna uppsättning tal bildar en aritmetisk progression.
Om den första termen av en aritmetisk progression är 'a' och den vanliga skillnaden är 'd'. Sekvensen som bildar ett AP är:
a, (a + d), (a + 2d), …
Att hitta n: e termen i en aritmetisk progression
T n vara den n :e termen i en aritmetisk progression då
| Tn = a + (n - 1)d |
här är a den första termen, d är den gemensamma skillnaden och n är antalet termer. Den gemensamma skillnaden d kan också härledas genom att använda formeln nedan
| d = Tn - Tn -1 |
Låt oss försöka lösa några frågor
Fråga 1: Bildar sekvensen 102, 120, 130, 148 ett AP?
Lösning: Skillnad mellan termerna: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
eftersom skillnaden mellan på varandra följande termer inte är lika, så bildar den inte en aritmetisk progression
Fråga 2: Skriv de första fyra termerna i den aritmetiska progressionen vars första term är 6 och den gemensamma skillnaden är 4.
Lösning: Som T 2 = 6 + (2 - 1) 4 = 6 + 4 = 10
Därför är de fyra första termerna 6, 10, 14, 18
Fråga 3: Hur många tvåsiffriga tal är delbara med 4?
Lösning: Tvåsiffriga tal som är delbara med 4 är 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, Tn = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Summan S av de första n talen i en aritmetisk progression ges av formeln:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
ELLER
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Här är S summan av de första n talen, d är skillnaden, a är den första termen och l är den sista termen.
Fråga: Hitta summan av de första 10 termerna i den aritmetiska progressionen 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Svar: Summan av de första 10 termerna är 155
