Back to the topics list

maendeleo ya hesabu

Fikiria seti zifuatazo za nambari:

(i) 2, 5, 8, 11, ...
(ii) 2, 4, 8, 16, ...
(iii) 1, 5, 3, 7, ...
(iv) 3, 12, 43, 50, ...
Je, umeona kwamba masharti katika (i) na (ii) yamepangwa kwa utaratibu maalum na kwa mujibu wa kanuni mahususi , yaani,
(i) Masharti yanaongezeka kwa mpangilio na kila muhula unaofuata unapatikana kwa kuongeza 3 kwa muhula uliotangulia.
(ii) Masharti yanaongezeka kwa mpangilio na kila muhula unaofuata unapatikana kwa kuzidisha muda uliotangulia na 2.
Nambari iliyowekwa katika (iii) haifuati utaratibu au kanuni yoyote na nambari iliyowekwa katika (iv) inaongezeka lakini haifuati kanuni yoyote.

Seti ya nambari katika (i) na (ii) huitwa mfuatano. Mfuatano ni seti ya nambari zilizobainishwa kwa mpangilio mahususi na kanuni au sheria fulani iliyokabidhiwa. Kila kipengele cha seti kinaitwa neno. Mlolongo unaweza kuwa na mwisho au usio. Mfuatano wenye kikomo ni ule unaoishia na kuwa na muhula wa mwisho. Kwa mfano 3, 9, 81, 6561 ni mlolongo wa mwisho. Mfuatano usio na mwisho ni ule ambao hauna muhula wa mwisho. Kwa mfano, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Kwa kawaida tunatumia '…' kuashiria kwamba mfuatano unaendelea bila kufungwa.

Mfululizo hufafanuliwa kama jumla ya masharti ya mlolongo. Kwa mfano, mfululizo wa mfuatano uliotolewa katika (i) na (ii) ni
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + ...
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Ukuaji wa Hesabu (AP)

Mfuatano ambao neno lake huongezeka au kupungua kila mara kwa nambari sawa huitwa kuendelea kwa hesabu. Nambari maalum ambayo huongeza au kupungua inaitwa tofauti ya kawaida ya maendeleo ya hesabu.
Kwa mfano, 121,131,141,151
Unaweza kuona tofauti kati ya istilahi zinazofuatana ni sawa na 10(131-121, 141-131, 151-141), yaani common difference = 10. Kwa hivyo seti hii ya nambari huunda mwendelezo wa hesabu.
Ikiwa muhula wa kwanza wa   kuendelea kwa hesabu ni 'a' na tofauti ya kawaida ni 'd'. Mchakato wa kuunda AP ni:
a, (a + d), (a + 2d), ...

Kupata ⁿ muhula wa maendeleo ya hesabu
T _n kuwa muhula wa ⁿ wa kuendelea kwa hesabu basi

hapa a ni muhula wa kwanza, d ni tofauti ya kawaida na n ni idadi ya maneno. Pia, tofauti ya kawaida d inaweza kupatikana kwa kutumia fomula hapa chini

Wacha tujaribu kusuluhisha maswali machache

Swali la 1: Je, mlolongo wa 102, 120, 130, 148 unaunda AP?
Suluhisho: Tofauti kati ya masharti: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
kwani tofauti kati ya istilahi zinazofuatana si sawa kwa hivyo haifanyi maendeleo ya hesabu

Swali la 2: Andika istilahi nne za kwanza za mwendelezo wa hesabu ambazo muhula wake wa kwanza ni 6 na tofauti ya kawaida ni 4.
Suluhisho: Kama T ₂ = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Kwa hivyo, maneno manne ya kwanza ni 6, 10, 14, 18

Swali la 3: Ni nambari ngapi za tarakimu mbili zinazoweza kugawanywa na 4?
Suluhisho: Nambari za tarakimu mbili zinazoweza kugawanywa na 4 ni 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T _n = 96, n =?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22

Jumla ya masharti n ya Maendeleo ya Kihesabu

Jumla ya S ya nambari za n za kwanza za maendeleo ya hesabu hutolewa na fomula:

AU

Hapa S ni jumla ya nambari za n kwanza, d ni tofauti, a ni muhula wa kwanza na l ni muhula wa mwisho.

Swali: Tafuta jumla ya masharti 10 ya kwanza ya maendeleo ya hesabu 2, 5, 8, 11, ...
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Jibu: Jumla ya maneno 10 ya kwanza ni 155