พิจารณาชุดตัวเลขต่อไปนี้:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
คุณสังเกตเห็นหรือไม่ว่าข้อกำหนดใน (i) และ (ii) ถูกจัดเรียงตามลำดับที่เฉพาะเจาะจงและตามกฎที่แน่นอน นั่นคือ
(i) คำศัพท์อยู่ในลำดับที่เพิ่มขึ้นและแต่ละเทอมที่ตามมาจะได้มาโดยการเพิ่ม 3 ให้กับคำศัพท์ก่อนหน้า
(ii) คำศัพท์อยู่ในลำดับที่เพิ่มขึ้นและแต่ละเทอมที่ตามมาจะได้มาโดยการคูณเทอมก่อนหน้าด้วย 2
ชุดหมายเลขที่กำหนดใน (iii) ไม่เป็นไปตามคำสั่งหรือกฎใด ๆ และชุดหมายเลขที่กำหนดใน (iv) อยู่ในลำดับที่เพิ่มขึ้น แต่ไม่เป็นไปตามกฎใด ๆ
ชุดของตัวเลขใน (i) และ (ii) เรียกว่าลำดับ ลำดับ คือชุดของตัวเลขที่ระบุในลำดับที่แน่นอนตามกฎหรือกฎหมายที่กำหนด แต่ละองค์ประกอบของชุดเรียกว่าเทอม ลำดับสามารถมีขอบเขตจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด ลำดับจำกัด คือลำดับที่สิ้นสุดและมีพจน์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น 3, 9, 81, 6561 เป็นลำดับจำกัด ลำดับอนันต์ คือลำดับที่ไม่มีพจน์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … เรามักจะใช้ '…' เพื่อแสดงว่าลำดับนั้นดำเนินต่อไปโดยไม่มีขอบเขต
ชุด หมายถึงผลรวมของเงื่อนไขของลำดับ ตัวอย่างเช่น อนุกรมสำหรับลำดับที่ระบุใน (i) และ (ii) คือ
(ฌ) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
ลำดับที่พจน์ของมันเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องด้วยจำนวนเดียวกัน เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเลขคณิต จำนวนคงที่ซึ่งเพิ่มขึ้นหรือลดลงเรียกว่า ผลต่างร่วม ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
ตัวอย่างเช่น 121,131,141,151
คุณสามารถเห็นความแตกต่างระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันเท่ากับ 10(131-121, 141-131, 151-141) นั่นคือผลต่างร่วม = 10 ดังนั้นตัวเลขชุดนี้จึงเป็นการก้าวหน้าทางเลขคณิต
ถ้าเทอมแรกของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 'a' และความแตกต่างทั่วไปคือ 'd' ลำดับการสร้าง AP คือ:
ก, (a + d), (a + 2d), …
การหาพจน์ ที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
T n เป็นพจน์ ที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
| T n = a + (n − 1)ง |
ในที่นี้ a คือเทอมแรก, d คือผลต่างร่วม และ n คือจำนวนเทอม นอกจากนี้ ผลต่างทั่วไป d สามารถหาได้โดยใช้สูตรด้านล่าง
| d = T n − T n-1 |
ให้เราลองตอบคำถามสองสามข้อ
คำถามที่ 1: ลำดับ 102, 120, 130, 148 เป็น AP หรือไม่
วิธีแก้ไข: ความแตกต่างระหว่างเงื่อนไข: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
เนื่องจากผลต่างระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันไม่เท่ากัน ดังนั้นจึงไม่ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเลขคณิต
คำถามที่ 2: เขียนสี่พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตซึ่งพจน์แรกคือ 6 และผลต่างร่วมคือ 4
วิธีแก้: เมื่อ T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
ดังนั้น สี่พจน์แรกคือ 6, 10, 14, 18
คำถามที่ 3: เลขสองหลักหารด้วย 4 ได้กี่ตัว?
วิธีแก้ปัญหา: ตัวเลขสองหลักที่หารด้วย 4 ลงตัวคือ 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (น - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
ผลรวม S ของตัวเลข n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตกำหนดโดยสูตร:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
หรือ
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
ในที่นี้ S คือผลบวกของตัวเลข n ตัวแรก, d คือผลต่าง, a คือเทอมแรก และ l คือเทอมสุดท้าย
คำถาม: หาผลบวกของ 10 พจน์แรกของการก้าวหน้าเลขคณิต 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
คำตอบ: ผลรวมของ 10 เทอมแรกคือ 155
