Isaalang-alang ang sumusunod na hanay ng mga numero:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Napansin mo ba na ang mga termino sa (i) at (ii) ay nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod at ayon sa isang tiyak na tuntunin , iyon ay,
(i) Ang mga termino ay nasa pagtaas ng pagkakasunud-sunod at ang bawat kasunod na termino ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 3 sa naunang termino.
(ii) Ang mga termino ay nasa pagtaas ng pagkakasunud-sunod at ang bawat kasunod na termino ay nakuha sa pamamagitan ng pag-multiply ng naunang termino sa 2.
Ang bilang na ibinigay sa (iii) ay hindi sumusunod sa anumang pagkakasunud-sunod o tuntunin at ang bilang na itinakda sa (iv) ay nasa pagtaas ng pagkakasunud-sunod ngunit hindi sumusunod sa anumang tuntunin.
Ang set ng mga numero sa (i) at (ii) ay tinatawag na sequence. Ang sequence ay isang set ng mga numero na tinukoy sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng ilang nakatalagang tuntunin o batas. Ang bawat elemento ng set ay tinatawag na term. Ang isang sequence ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Ang isang may hangganang pagkakasunod-sunod ay yaong nagtatapos at may huling termino. Halimbawa 3, 9, 81, 6561 ay may hangganang pagkakasunod-sunod. Ang isang walang katapusang sequence ay isa na walang huling termino. Halimbawa, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Karaniwan naming ginagamit ang '…' upang tukuyin na ang pagkakasunod-sunod ay nagpapatuloy nang walang hangganan.
Ang isang serye ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga termino ng isang sequence. Halimbawa, ang mga serye para sa sequence na ibinigay sa (i) at (ii) ay
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang termino nito ay patuloy na tumataas o bumababa ng parehong bilang ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang nakapirming bilang kung saan tumataas o bumababa ang mga ito ay tinatawag na karaniwang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.
Halimbawa, 121,131,141,151
Makikita mo ang pagkakaiba sa pagitan ng magkakasunod na termino ay katumbas ng 10(131-121, 141-131, 151-141), ibig sabihin, karaniwang pagkakaiba = 10. Kaya ang hanay ng mga numerong ito ay bumubuo ng aritmetika na pag-unlad.
Kung ang unang termino ng isang Ang pag-unlad ng aritmetika ay 'a' at ang karaniwang pagkakaiba ay 'd'. Ang pagkakasunud-sunod na bumubuo ng isang AP ay:
a, (a + d), (a + 2d), …
Paghahanap ng ika -n term ng isang pag-unlad ng arithmetic
T n ang ika- na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika noon
| T n = a + (n − 1)d |
narito ang a ay ang unang termino, d ay ang karaniwang pagkakaiba at n ay ang bilang ng mga termino. Gayundin, ang karaniwang pagkakaiba d ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng formula sa ibaba
| d = T n − T n-1 |
Subukan nating lutasin ang ilang katanungan
Tanong 1: Ang sequence 102, 120, 130, 148 ba ay bumubuo ng AP?
Solusyon: Pagkakaiba sa pagitan ng mga termino: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
dahil ang pagkakaiba sa pagitan ng magkakasunod na termino ay hindi pantay kaya hindi ito bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika
Tanong 2: Isulat ang unang apat na termino ng pag-unlad ng aritmetika na ang unang termino ay 6 at ang karaniwang pagkakaiba ay 4.
Solusyon: Bilang T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Samakatuwid, ang unang apat na termino ay 6, 10, 14, 18
Tanong 3: Ilang dalawang digit na numero ang nahahati sa 4?
Solusyon: Dalawang digit na numero na nahahati sa 4 ay 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Ang kabuuan S ng unang n numero ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng formula:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
O
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Narito ang S ay ang kabuuan ng unang n numero, d ang pagkakaiba, a ang unang termino at l ang huling termino.
Tanong: Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino ng arithmetic progression 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Sagot: Ang kabuuan ng unang 10 termino ay 155
