Aşağıdaki sayı kümesini göz önünde bulundurun:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
(i) ve (ii)'deki terimlerin belirli bir düzende ve belirli bir kurala göre düzenlendiğini fark ettiniz mi?
(i) Terimler artan sıradadır ve sonraki her terim, bir önceki terime 3 eklenerek elde edilir.
(ii) Terimler artan sıradadır ve sonraki her terim, önceki terimin 2 ile çarpılmasıyla elde edilir.
(iii)'de verilen sayı seti herhangi bir sıra ve kurala uymamaktadır ve (iv)'de verilen sayı seti artan sırada olup herhangi bir kurala uymamaktadır.
(i) ve (ii)'deki sayılar kümesine dizi denir. Bir dizi , atanmış bir kural veya yasa tarafından belirli bir sırada belirtilen bir sayılar kümesidir. Kümenin her elemanına terim denir. Bir dizi sonlu veya sonsuz olabilir. Sonlu bir dizi , biten ve son terime sahip olan dizidir. Örneğin 3, 9, 81, 6561 sonlu dizidir. Sonsuz bir dizi , son terimi olmayan bir dizidir. Örneğin, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Dizinin sınırsız devam ettiğini belirtmek için genellikle '…' kullanırız.
Bir dizi , bir dizinin terimlerinin toplamı olarak tanımlanır. Örneğin, (i) ve (ii)'de verilen dizi için seriler
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Teriminin sürekli olarak aynı sayı kadar arttığı veya azaldığı bir diziye aritmetik dizi denir. Arttıkları veya azaldıkları sabit sayıya aritmetik ilerlemenin ortak farkı denir.
Örneğin, 121.131.141.151
Ardışık terimler arasındaki farkın 10'a (131-121, 141-131, 151-141) eşit olduğunu görebilirsiniz, yani ortak fark = 10. Yani bu sayı dizisi aritmetik bir dizi oluşturuyor.
a'nın ilk terimi ise aritmetik ilerleme 'a' ve ortak fark 'd'dir. Bir AP oluşturan dizi:
a, (a + d), (a + 2d), …
Bir aritmetik ilerlemenin n . terimini bulma
T n , bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi o zaman
| T n = bir + (n - 1)d |
burada a birinci terim, d ortak fark ve n terim sayısıdır. Ayrıca, d ortak farkı aşağıdaki formül kullanılarak elde edilebilir.
| d = T n - T n-1 |
Birkaç soru çözmeye çalışalım
Soru 1: 102, 120, 130, 148 dizisi bir AP oluşturur mu?
Çözüm: Terimler arasındaki fark: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
ardışık terimler arasındaki fark eşit olmadığından aritmetik bir ilerleme oluşturmaz
Soru 2: İlk terimi 6 ve ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin ilk dört terimini yazınız.
Çözüm: T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10 olarak
Bu nedenle, ilk dört terim 6, 10, 14, 18'dir.
Soru 3: 4 ile bölünebilen iki basamaklı kaç sayı vardır?
Çözüm: 4 ile bölünebilen iki basamaklı sayılar 12, 16, ..., 96'dır.
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Bir aritmetik ilerlemenin ilk n sayısının toplamı S aşağıdaki formülle verilir:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
VEYA
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Burada S ilk n sayının toplamı, d fark, a ilk terim ve l son terimdir.
Soru: Aritmetik dizinin ilk 10 teriminin toplamını bulun 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Cevap: İlk 10 terimin toplamı 155'tir.
