Розглянемо наступний набір чисел:
(і) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Чи помітили ви, що терміни в (i) і (ii) розташовані в певному порядку та відповідно до певного правила , тобто
(i) Члени розташовані в порядку зростання, і кожен наступний член отримується шляхом додавання 3 до попереднього члена.
(ii) Терміни розташовані в порядку зростання, і кожен наступний член отримується множенням попереднього члена на 2.
Набір чисел, наведений у (iii), не відповідає жодному порядку чи правилу, а набір чисел у (iv) у порядку зростання, але не відповідає жодному правилу.
Набір чисел у (i) та (ii) називається послідовністю. Послідовність — це набір чисел, заданих у певному порядку за певним правилом або законом. Кожен елемент множини називається термом. Послідовність може бути скінченною або нескінченною. Скінченна послідовність - це та, яка закінчується і має останній член. Наприклад, 3, 9, 81, 6561 є кінцевою послідовністю. Нескінченною є послідовність , яка не має останнього члена. Наприклад, 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Зазвичай ми використовуємо «…», щоб позначити, що послідовність продовжується без обмежень.
Ряд визначається як сума членів послідовності. Наприклад, ряди для послідовності, наведені в (i) і (ii), є
(і) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Послідовність, у якій її член постійно збільшується або зменшується на одне й те саме число, називається арифметичною прогресією. Фіксоване число, на яке вони збільшуються або зменшуються, називається загальною різницею арифметичної прогресії.
Наприклад, 121,131,141,151
Ви бачите, що різниця між послідовними членами дорівнює 10 (131-121, 141-131, 151-141), тобто загальна різниця = 10. Отже, цей набір чисел утворює арифметичну прогресію.
Якщо перший член ан арифметична прогресія — «a», а загальна різниця — «d». Послідовність формування AP така:
a, (a + d), (a + 2d), …
Знаходження n-го члена арифметичної прогресії
Тоді T n — n-й член арифметичної прогресії
| T n = a + (n − 1)d |
тут a — перший член, d — загальна різниця, а n — кількість членів. Крім того, загальну різницю d можна отримати за допомогою наведеної нижче формули
| d = T n − T n-1 |
Давайте спробуємо вирішити кілька питань
Запитання 1: чи є послідовність 102, 120, 130, 148 AP?
Рішення: різниця між доданками: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
оскільки різниця між послідовними членами не є рівною, отже, він не утворює арифметичної прогресії
Запитання 2: Напишіть перші чотири члени арифметичної прогресії, перший член яких дорівнює 6, а спільна різниця – 4.
Розв'язання: As T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Отже, перші чотири доданки - це 6, 10, 14, 18
Запитання 3: Скільки двоцифрових чисел діляться на 4?
Розв'язання: двоцифрові числа, які діляться на 4, це 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Сума S перших n чисел арифметичної прогресії визначається формулою:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
АБО
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Тут S — сума перших n чисел, d — різниця, a — перший член, а l — останній член.
Запитання: Знайдіть суму перших 10 членів арифметичної прогресії 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Відповідь: сума перших 10 доданків дорівнює 155
