نمبروں کے درج ذیل سیٹ پر غور کریں:
(i) 2، 5، 8، 11، …
(ii) 2، 4، 8، 16، …
(iii) 1، 5، 3، 7، …
(iv) 3، 12، 43، 50، …
کیا آپ نے دیکھا کہ (i) اور (ii) کی اصطلاحات ایک خاص ترتیب اور ایک خاص اصول کے مطابق ترتیب دی گئی ہیں ، یعنی،
(i) شرائط بڑھتے ہوئے ترتیب میں ہیں اور ہر آنے والی اصطلاح کو پچھلی اصطلاح میں 3 کا اضافہ کر کے حاصل کیا جاتا ہے۔
(ii) شرائط بڑھتے ہوئے ترتیب میں ہیں اور ہر آنے والی ٹرم پچھلی اصطلاح کو 2 سے ضرب دے کر حاصل کی جاتی ہے۔
(iii) میں دیا گیا نمبر کسی ترتیب یا قاعدے کی پیروی نہیں کرتا ہے اور (iv) میں سیٹ کردہ نمبر بڑھتے ہوئے ترتیب میں ہیں لیکن کسی اصول کی پیروی نہیں کرتے ہیں۔
(i) اور (ii) میں اعداد کا مجموعہ ترتیب کہلاتا ہے۔ ایک ترتیب نمبروں کا ایک مجموعہ ہے جو کچھ مقرر کردہ اصول یا قانون کے ذریعہ ایک خاص ترتیب میں بیان کیا جاتا ہے۔ سیٹ کے ہر عنصر کو اصطلاح کہا جاتا ہے۔ ایک ترتیب محدود یا لامحدود ہو سکتی ہے۔ ایک محدود ترتیب وہ ہے جو ختم ہوتی ہے اور اس کی آخری اصطلاح ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر 3، 9، 81، 6561 محدود ترتیب ہے۔ ایک لامحدود ترتیب وہ ہے جس کی کوئی آخری اصطلاح نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … ہم عام طور پر اس بات کی نشاندہی کرنے کے لیے '…' استعمال کرتے ہیں کہ تسلسل بغیر کسی پابندی کے جاری رہتا ہے۔
ایک سلسلہ کو ترتیب کی شرائط کے مجموعہ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، (i) اور (ii) میں دی گئی ترتیب کی سیریز ہیں۔
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
ایک ترتیب جس میں اس کی اصطلاح میں ایک ہی نمبر سے مسلسل اضافہ یا کمی ہوتی ہے اسے ریاضی کی ترقی کہا جاتا ہے۔ وہ مقررہ تعداد جس سے وہ بڑھتے یا گھٹتے ہیں ریاضی کی ترقی کا مشترکہ فرق کہلاتا ہے۔
مثال کے طور پر، 121,131,141,151
آپ دیکھ سکتے ہیں کہ لگاتار اصطلاحات کے درمیان فرق 10 (131-121، 141-131، 151-141) کے برابر ہے، یعنی عام فرق = 10۔ لہذا اعداد کا یہ مجموعہ ایک ریاضی کی ترقی کو تشکیل دیتا ہے۔
اگر ایک کی پہلی مدت ریاضی کی ترقی 'a' ہے اور عام فرق 'd' ہے۔ اے پی بنانے کا سلسلہ یہ ہے:
a، (a + d)، (a + 2d)، …
ریاضی کی ترقی کی n ویں اصطلاح تلاش کرنا
T n پھر ریاضی کی ترقی کی n ویں اصطلاح ہے۔
| T n = a + (n − 1)d |
یہاں a پہلی اصطلاح ہے، d عام فرق ہے اور n اصطلاحات کی تعداد ہے۔ نیز، عام فرق d کو درج ذیل فارمولے کا استعمال کرکے اخذ کیا جاسکتا ہے۔
| d = T n − T n-1 |
آئیے چند سوالات کو حل کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔
سوال 1: کیا ترتیب 102، 120، 130، 148 ایک AP بناتی ہے؟
حل: شرائط کے درمیان فرق: 120 -102 = 18، 130 -120 = 10، 148 - 130 = 18
چونکہ متواتر اصطلاحات کے درمیان فرق برابر نہیں ہے لہذا یہ ریاضی کی ترقی نہیں بناتا ہے۔
سوال 2: ریاضی کی ترقی کی پہلی چار اصطلاحات لکھیں جن کی پہلی اصطلاح 6 اور مشترک فرق 4 ہے۔
حل: جیسا کہ T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
لہذا، پہلی چار اصطلاحات 6، 10، 14، 18 ہیں۔
سوال 3: کتنے دو ہندسوں کے اعداد 4 سے تقسیم ہوتے ہیں؟
حل: 4 سے تقسیم ہونے والے دو ہندسوں کی تعداد 12، 16، ...، 96 ہیں۔
a = 12، d = 4، T n = 96، n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
ریاضی کی پیشرفت کے پہلے n نمبروں کا مجموعہ فارمولہ کے ذریعہ دیا گیا ہے:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
یا
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
یہاں S پہلے n نمبروں کا مجموعہ ہے، d فرق ہے، a پہلی اصطلاح ہے اور l آخری اصطلاح ہے۔
سوال: ریاضی کی ترقی 2، 5، 8، 11، … کی پہلی 10 اصطلاحات کا مجموعہ تلاش کریں۔
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
جواب: پہلی 10 اصطلاحات کا مجموعہ 155 ہے۔
