Xét dãy số sau:
(i) 2, 5, 8, 11, …
(ii) 2, 4, 8, 16, …
(iii) 1, 5, 3, 7, …
(iv) 3, 12, 43, 50, …
Bạn có nhận thấy rằng các thuật ngữ trong (i) và (ii) được sắp xếp theo một thứ tự cụ thể và theo một quy tắc xác định , đó là,
(i) Các số hạng theo thứ tự tăng dần và mỗi số hạng tiếp theo nhận được bằng cách thêm 3 vào số hạng trước đó.
(ii) Các số hạng theo thứ tự tăng dần và mỗi số hạng tiếp theo nhận được bằng cách nhân số hạng đứng trước với 2.
Dãy số ở (iii) không tuân theo một thứ tự hay quy luật nào và dãy số ở (iv) tăng dần nhưng không tuân theo một quy luật nào.
Tập hợp các số trong (i) và (ii) được gọi là dãy. Dãy là một tập hợp các số được chỉ định theo một thứ tự xác định bởi một số quy tắc hoặc luật được chỉ định. Mỗi phần tử của tập hợp được gọi là một số hạng. Một dãy có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Dãy hữu hạn là dãy có tận cùng và có số hạng cuối cùng. Ví dụ 3, 9, 81, 6561 là dãy hữu hạn. Dãy vô hạn là dãy không có số hạng cuối cùng. Ví dụ: 30, 24, 18, 12, 6, 0, -6, -12, … Chúng ta thường sử dụng '…' để biểu thị rằng dãy tiếp tục không giới hạn.
Một chuỗi được định nghĩa là tổng các số hạng của một chuỗi. Ví dụ: chuỗi cho chuỗi được đưa ra trong (i) và (ii) là
(i) 2 + 5 + 8 + 11 + …
(ii) 2 + 4 + 8 + 16 + …
Dãy số mà số hạng của nó liên tục tăng hoặc giảm đi một lượng không đổi được gọi là một cấp số cộng. Số cố định mà chúng tăng hay giảm gọi là công bội của cấp số cộng.
Ví dụ: 121,131,141,151
Bạn có thể thấy hiệu giữa các số hạng liên tiếp bằng 10(131-121, 141-131, 151-141), tức là công bội = 10. Vậy dãy số này lập thành một cấp số cộng.
Nếu số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 'a' và công sai là 'd'. Trình tự tạo thành một AP là:
a, (a + d), (a + 2d), …
Tìm số hạng thứ n của một cấp số cộng
T n là số hạng thứ n của một cấp số cộng thì
| T n = a + (n − 1)d |
ở đây a là số hạng đầu tiên, d là hiệu chung và n là số các số hạng. Ngoài ra, sự khác biệt chung d có thể được bắt nguồn bằng cách sử dụng công thức dưới đây
| d = T n − T n-1 |
Hãy để chúng tôi thử giải quyết một vài câu hỏi
Câu 1: Dãy số 102, 120, 130, 148 có lập thành AP không?
Lời giải: Hiệu giữa các số hạng: 120 -102 = 18, 130 -120 = 10, 148 - 130 = 18
do hiệu giữa các số hạng liên tiếp không bằng nhau nên không lập thành cấp số cộng
Câu 2: Viết 4 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 6 và công sai là 4.
Giải: Vì T 2 = 6 + (2 - 1)4 = 6 + 4 = 10
Do đó, bốn số hạng đầu tiên là 6, 10, 14, 18
Câu 3: Có bao nhiêu số có hai chữ số chia hết cho 4?
Giải: Các số có hai chữ số chia hết cho 4 là 12, 16, ..., 96
a = 12, d = 4, T n = 96, n = ?
96 = 12 + (n - 1) 4
4n - 4 + 12 = 96
4n + 8 = 96
4n = 88 ⇒ n = 22
Tổng S của n số đầu tiên của một cấp số cộng được cho bởi công thức:
| \(S =\frac{n}{2} (a + l)\) |
HOẶC LÀ
| \(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\) |
Ở đây S là tổng của n số đầu tiên, d là hiệu, a là số hạng đầu tiên và l là số hạng cuối cùng.
Câu hỏi: Tìm tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng 2, 5, 8, 11, …
\(S = \frac{10}{2}(2\times 2 + (10 - 1)3) \\ S = 5(4 + 27) \\ S = 155\)
Trả lời: Tổng của 10 số hạng đầu tiên là 155
