بعد تعلم المتتابعة الحسابية، دعونا نتعلم المتتابعة الهندسية، والتي تعرف أيضًا بالمتتابعة الهندسية.
التقدم الهندسي (GP) هو تسلسل تكون فيه نسبة أي حد إلى أسلافه دائمًا نفس الرقم، وهو ثابت. وتسمى النسبة النسبة المشتركة . إذا كانت "a" تشير إلى الحد الأول و"r" النسبة المشتركة في متوالية هندسية، فإن المتوالية الهندسية القياسية هي a, r, ar 2 , ...
أمثلة:
(ط) 1، 3، 9، 27، 81، ...
النسبة المشتركة \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
النسبة المشتركة \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
إذا كان a هو الحد الأول، فإن النسبة المشتركة هي r وعدد الحدود هو n
ر 1 (الفصل الأول) = أ⋅ص 1−1 = أ
ر 2 (الحد الثاني) = أ⋅ص 2− 1 = ع
ر 3 (الحد الثالث) = أ⋅ص 3− 1 = ع 2
لذلك،
| n الحد الرابع للمتتابعة الهندسية , t n = ar n − 1 |
السؤال الأول: حدد إذا كانت المتتابعة 0.2، 0.02، 0.002، 0.0002، ... هندسية أم لا.
الحل: اقسم الحدود على سابقتها وتحقق من وجود نسبة مشتركة.
.02 ÷ 0.2 = 0.1، .002 ÷ 0.02 = 0.1، .0002 ÷ 0.002 = .1
وبما أن النسبة المشتركة بينهما = 0.1، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي.
السؤال الثاني: أوجد الحد السادس من المتتابعة الهندسية 3، 15، 75، 375، ...
الحل: ر 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
السؤال ٣: الحد n للمتتابعة الهندسية هو 3⋅2 n− 1 ، أوجد الحد الأول والثاني.
الحل: ر 1 = 3⋅2 0 = 3، ر 2 = 3⋅2 2−1 = 6
إذا كان a هو الحد الأول، فإن r هي النسبة المشتركة وS n هو مجموع حدود n للتقدم الهندسي، إذن
S n = أ + ع + ع 2 + ع 3 + … + ع ن − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) ، عندما r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) عندما يكون r < 1 |
السؤال 1: أوجد مجموع المتتابعة الهندسية، 3، -6، 12، -24، 48، ... إلى 10 حدود
الحل: الحصة المشتركة = -6/3 = -2
كـ r < 1، وبالتالي \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
المتوسط الهندسي لعددين موجبين a و b هو الرقم \(\sqrt {ab}\) . وبالتالي فإن المتوسط الهندسي للعددين 8 و32 هو \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
هل لاحظت أن الأعداد الثلاثة 8 و16 و32 هي ثلاثة حدود متتالية من المتوالية الهندسية. لذا فإن الوسط الهندسي يمنحنا طريقة لإيجاد القيمة بين قيم مختلفة تمامًا. للعثور على الوسط الهندسي للأعداد n، اضرب جميع الأعداد n وخذ الجذر n . لذلك،
المتوسط الهندسي للأعداد n a 1 إلى a n هو : \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
المتوسط الهندسي لـ 3، 27 هو 9، مما يعني أن مساحة المستطيل الذي طول ضلعه 3، 27 هي نفس مساحة المربع الذي طول ضلعه 9. 
سؤال: أوجد الوسط الهندسي للأعداد 4، 10، 12، 20، 24
الحل: المتوسط الهندسي = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
المتوسط الهندسي = 11.816
