পাটিগণিতের অগ্রগতি শেখার পরে আসুন জ্যামিতিক অগ্রগতি শিখি, যা একটি জ্যামিতিক ক্রম হিসাবেও পরিচিত।
জ্যামিতিক অগ্রগতি (GP) হল এমন একটি ক্রম যেখানে তার পূর্বসূরীদের সাথে যেকোনো পদের অনুপাত সবসময় একই সংখ্যা, যা ধ্রুবক। অনুপাতকে সাধারণ অনুপাত বলা হয়। যদি 'a' একটি জ্যামিতিক অগ্রগতিতে প্রথম পদ এবং 'r' সাধারণ অনুপাতকে বোঝায় তবে মানক জ্যামিতিক অগ্রগতি হল a, ar, ar 2 , …
উদাহরণ:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
সাধারণ অনুপাত \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
সাধারণ অনুপাত \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
a যদি প্রথম পদ হয়, সাধারণ অনুপাত হয় r এবং পদের সংখ্যা n হলে
t 1 (প্রথম পদ) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (দ্বিতীয় পদ) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (তৃতীয় পদ) = a⋅r 3− 1 = ar 2
অতএব,
| জ্যামিতিক অগ্রগতির n তম পদ , t n = ar n − 1 |
প্রশ্ন 1: ক্রম 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... জ্যামিতিক কিনা তা নির্ধারণ করুন।
সমাধান: পদগুলিকে তাদের পূর্বসূরি দ্বারা ভাগ করুন এবং একটি সাধারণ অনুপাত বিদ্যমান কিনা তা পরীক্ষা করুন।
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
যেহেতু তাদের সাধারণ অনুপাত = 0.1, তাই এই ক্রমটি একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি।
প্রশ্ন 2: জ্যামিতিক অগ্রগতির 6 তম পদটি 3, 15, 75, 375, ... খুঁজুন।
সমাধান: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
প্রশ্ন 3: জ্যামিতিক অগ্রগতির n তম পদটি হল 3⋅2 n− 1 , প্রথম এবং দ্বিতীয় পদটি খুঁজুন।
সমাধান: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
যদি a প্রথম পদ হয়, r হল সাধারণ অনুপাত এবং S n হল জ্যামিতিক অগ্রগতির n পদগুলির যোগফল, তাহলে
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , যখন r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , যখন r < 1 |
প্রশ্ন 1: জ্যামিতিক অগ্রগতির সমষ্টি খুঁজুন, 3, -6, 12, -24, 48, ... থেকে 10 পদ
সমাধান: সাধারণ রেশন = -6/3 = -2
r < 1 হিসাবে, অতএব \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
দুটি ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b এর জ্যামিতিক গড় হল সংখ্যা \(\sqrt {ab}\) । অতএব 8 এবং 32 এর জ্যামিতিক গড় হল \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
আপনি কি লক্ষ্য করেছেন যে তিনটি সংখ্যা 8, 16, এবং 32 জ্যামিতিক অগ্রগতির তিনটি পরপর পদ। তাই জ্যামিতিক গড় আমাদের ব্যাপকভাবে বিভিন্ন মানের মধ্যে একটি মান খুঁজে বের করার একটি উপায় দেয়। n সংখ্যার জ্যামিতিক গড় খুঁজে পেতে, সমস্ত n সংখ্যাকে গুণ করুন এবং n তম রুটটি নিন। অতএব,
n সংখ্যার জ্যামিতিক গড় a 1 থেকে a n হল : \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
3, 27-এর জ্যামিতিক গড় হল 9, যার অর্থ হল 3 এবং 27 বাহুগুলির একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 9 বাহুর একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। 
প্রশ্নঃ 4, 10, 12, 20, 24 এর জ্যামিতিক গড় নির্ণয় কর
সমাধান: জ্যামিতিক গড় = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
জ্যামিতিক গড় = 11.816
