Nachdem wir die arithmetische Folge gelernt haben, lernen wir die geometrische Folge, die auch als geometrische Folge bekannt ist.
Die geometrische Progression (GP) ist eine Folge, in der das Verhältnis eines Termes zu seinen Vorgängern immer die gleiche Zahl ist, also konstant. Das Verhältnis wird als gemeinsames Verhältnis bezeichnet. Wenn „a“ den ersten Term und „r“ das gemeinsame Verhältnis in einer geometrischen Folge bezeichnet, dann ist die standardmäßige geometrische Folge a, ar, ar 2 , …
Beispiele:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
gemeinsames Verhältnis \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Gemeinsames Verhältnis \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Wenn a der erste Term ist, ist das gemeinsame Verhältnis r und die Anzahl der Terme ist dann n
t 1 (erster Term) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (zweiter Term) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (dritter Term) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Daher,
| n . Term der geometrischen Progression , t n = ar n − 1 |
Frage 1: Bestimmen Sie, ob die Folge 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... geometrisch ist oder nicht.
Lösung: Teilen Sie die Terme durch ihre Vorgänger und prüfen Sie, ob ein gemeinsames Verhältnis besteht.
.02 ÷ 0,2 = 0,1, .002 ÷ 0,02 = 0,1, .0002 ÷ 0,002 = .1
Da sie ein gemeinsames Verhältnis von 0,1 haben, handelt es sich bei dieser Folge um eine geometrische Folge.
Frage 2: Finden Sie den 6. Term der geometrischen Progression 3, 15, 75, 375, ...
Lösung: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Frage 3: Der n- te Term der geometrischen Progression ist 3⋅2 n− 1 , finden Sie den ersten und zweiten Term.
Lösung: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Wenn a der erste Term ist, r das gemeinsame Verhältnis ist und S n die Summe von n Termen der geometrischen Folge ist, dann
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , wenn r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , wenn r < 1 |
Frage 1: Finden Sie die Summe der geometrischen Folge 3, -6, 12, -24, 48, ... bis 10 Terme
Lösung: Gemeinsames Verhältnis = -6/3 = -2
da r < 1, also \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen a und b ist die Zahl \(\sqrt {ab}\) . Daher ist das geometrische Mittel von 8 und 32 \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Ist Ihnen aufgefallen, dass die drei Zahlen 8, 16 und 32 drei aufeinanderfolgende Begriffe der geometrischen Progression sind? Das geometrische Mittel gibt uns also eine Möglichkeit, einen Wert zwischen sehr unterschiedlichen Werten zu finden. Um das geometrische Mittel von n Zahlen zu ermitteln, multiplizieren Sie alle n Zahlen und ziehen Sie die n- te Wurzel. Daher,
Das geometrische Mittel von n Zahlen a 1 bis a n ist: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Das geometrische Mittel von 3, 27 ist 9, was bedeutet, dass die Fläche eines Rechtecks mit den Seiten 3 und 27 gleich der Fläche eines Quadrats mit der Seite 9 ist. 
Frage: Finden Sie das geometrische Mittel von 4, 10, 12, 20, 24
Lösung: Geometrisches Mittel = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Geometrisches Mittel = 11,816
