Después de aprender la progresión aritmética, aprendamos la progresión geométrica, que también se conoce como secuencia geométrica.
La progresión geométrica (GP) es una secuencia en la que la relación entre cualquier término y sus predecesores es siempre el mismo número, que es constante. La razón se llama razón común . Si 'a' denota el primer término y 'r' la razón común en una progresión geométrica, entonces la progresión geométrica estándar es a, ar, ar 2 ,...
Ejemplos:
(i) 1, 3, 9, 27, 81,…
razón común \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Razón común \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Si a es el primer término, la razón común es r y el número de términos es n, entonces
t 1 (primer término) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (segundo término) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (tercer término) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Por lo tanto,
| n.ésimo término de progresión geométrica , t n = ar n − 1 |
Pregunta 1: Determina si la secuencia 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002,... es geométrica o no.
Solución: Divida los términos por su predecesor y verifique si existe una razón común.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Como tienen una proporción común = 0,1, esta secuencia es una progresión geométrica.
Pregunta 2: Encuentra el sexto término de la progresión geométrica 3, 15, 75, 375,...
Solución: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Pregunta 3: El n.ésimo término de la progresión geométrica es 3⋅2 n− 1 , encuentre el primer y segundo término.
Solución: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Si a es el primer término, r es la razón común y S n es la suma de n términos de la progresión geométrica, entonces
S norte = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar norte − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , cuando r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , cuando r < 1 |
Pregunta 1: Encuentra la suma de la progresión geométrica, 3, -6, 12, -24, 48, ... hasta 10 términos
Solución: Ración común = -6/3 = -2
como r < 1, por lo tanto \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
La media geométrica de dos números positivos a y b es el número \(\sqrt {ab}\) . Por lo tanto, la media geométrica de 8 y 32 es \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
¿Notaste que los tres números 8, 16 y 32 son tres términos consecutivos de progresión geométrica? Entonces, la media geométrica nos brinda una forma de encontrar un valor entre valores muy diferentes. Para encontrar la media geométrica de n números, multiplica todos los n números y saca la n- ésima raíz. Por lo tanto,
La media geométrica de n números de 1 a n es: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
La media geométrica de 3, 27 es 9, lo que significa que el área de un rectángulo de lados 3 y 27 es la misma que el área de un cuadrado de lado 9. 
Pregunta: Encuentra la media geométrica de 4, 10, 12, 20, 24
Solución: Media geométrica = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Media geométrica = 11,816
